Propiedades de las soluciones factibles en un vértice (VII)

La razón básica para que la propiedad 3 se cumpla es que en cualquier problema de programación lineal la región factible siempre tiene la propiedad de ser un conjunto convexo, como se define en el apéndice 1 se ilustra en varias figuras ahí mismo. Para un problema de dos variables, esta propiedad de convexo que significa que el ángulo dentro de la región factible en todas las solucione factibles en un vértice es menor a 180°. Esto se ilustra en la figura 5.1 en donde los ángulos en (0,0), (0,6) y (4,0) son de 90° y aquellos en (2,6) y (4,3) tienen entre 90° y 180°. Por el contrario, la región factible de la figura 5.3 no es un conjunto convexo debido a que el ángulo en (8/3, 5) es mayor a 180°. Éste es el tipo de "doblez hacia afuera" en un angulo mayor a 180° que no puede ocurrir en programación líneal. En problemas de n dimensiones se sigue aplicando este concepto intuitivo de "nunca doblar hacia afuera".

Para aclarar el significado de región factible convexa, considérese el hiperplano de la función objetivo que pasa por una solución factible en un vértice, y que es igual o mejor que todas las soluciones factibles en vértices adyacentes. [En el ejemplo original de la Wyndor Glass Co. este hiperplano es la recta que pasa por (2,6) en la figura 3.3] Todas estas soluciones adyacentes [(0,6) y (4,3) en el ejemplo] deben estar ya sea en el hiperplano o en el lado no favorable (según lo mide el valor de Z) del hiperplano. El que la región factible sea convexa significa que su frontera no se puede "doblar hacia afuera" más allá de una solución factible en un vértice adyacente para dar una solución que se encuentre en el lado favorable del hiperplano de manera que la propiedad 3 se cumple.