La relevancia del gradiente para los conceptos 1 y 2 (I)

El algoritmo comienza con una solución prueba inicial que (al igual que todas las soluciones prueba subsecuentes) se encuentra en el interior de la región factible. Así, por ejemplo, la solución no debe estar en ninguna de las tres recta (x1=0, x2=0, x1+x2 =8) que forman la frontera de esta región en la figura 9.3. Se eligió arbitrariamente (x1,x2) = (2,2) como esta solución prueba inicial.

Para comenzar la aplicación de los conceptos 1y 2, obsérvese  en la figura 9.3 que la dirección del movimiento desde el punto (2,2) que aumenta el valor de Z a la mayor tasa posible es perpendicular  a (y hacia) la recta de la función objetivo, Z =16 = x1 + 2x2. Esta durección se indica con la flecha de (2,2) a (3,4). Sumando vectores,

(3,4) = (2,2) + (1,2),

donde el vector (1,2) es el gradiente de la función objetivo. (En la sección 14.5 se estudian los gradientes con más detalle, dentro del contexto de programación no lineal, campo en el que desde hace mucho se aplican algoritmos similares al de Karmarkar. ) Las componentes de (1,2) son justo los coeficientes de la función objetivo. Así, con una modificación más, el gradiente (1,2) define la dirección ideal para moverse; la pregunta sobre la distancia que hay que moverse se considerará más adelante.