Solución Ejemplo prototipo (II)

En el problema de la diligencia, se comienza con el problema sencillo en el que el agente casi ha llegado al final de su viaje y sólo tiene una etapa más (una jornada en la diligencia) por recorrer. La solución óptima obvia para este problema reducido es ir del estado actual (el que sea en el que se encuentre) a su destino final ( estado J). En cada una de las iteraciones siguientes, el problema se agranda aumentando de uno en uno el número de etapas que le quedan por recorrer para completar el viaje. En cada problema aumentado se puede encontrar la solución óptima del lugar al que debe dirigirse desde cada estado posible tomando en cuenta los resultados obtenidos en la iteración anterior. A continuación se describen los detalles de este procedimiento.

Programación dinámica probabilística (II)

DEbido a la estructura probabílistica, la relación entre fn(sn, xn) y f*s(sn+1) necesariamente es más complicada que apra el caso deterministico. La forma exacta de esta relación dependerá de la forma global de la función objetivo.

Para ilustrar esto, supóngase que el objetivo es minimizar la suma esperada de las contribuciones de las etapas individuales. En este caso, fn(sn,xn) representa la suma esperada mínima de la etapa n en adelante, dado que en la etapa n, el estado es sn y la política de decisión es xn. En consecuencia.

Solución Ejemplo prototipo (I)

Obsérvese primero que el procedimiento poco inteligente de elegir la ruta más barata en cada etapa sucesiva no conduce a una decisión óptima global. Al seguir esta estrategia se obtiene la ruta A → B → F → I → J, con un costo total de 13. Pero un pequeño sacrificio en una etapa puede permitir mayores ahorros más adelante. Por ejemplo, A→ D→ F es en total más barato que A →B→ F.

Un enfoque posible para resolver este problema es el de prueba y error. Sin embargo, el número de rutas posibles es grande (18) y el cálculo del costo total para cada ruta no es una tarea atractiva.

Por fortuna, la programación dinámica proporciona una solución con mucho menos esfuerzo que la enumeración exhaustiva. (El ahorro computacional es enorme cuando se trata de versiones más grandes de este problema). La programación dinámica comienza con una pequeña porción del problema original y encuentra la solución óptima actual a partir de la que le precede, hasta resolver el problema original completo.

Ejemplo prototipo

El problema de la diligencia fue elaborado especialmente para ilustrar las características e introducir la terminología de la programación dinámica. Trata sobre una cazafortunas mítico de Missouri que decide ir al oeste a unirse a la fiebre del oreo en California a mediados del siglo XIX. Tiene que hacer el viaje en diligencia a través de territorios sin ley cuando existían serios peligros de ser atacado por merodeadores. Aun cuando su punto de partida y su destino eran fijos, tenía muchas opciones en cuanto a qué estados (o territorios que más tarde se convirtieron en estados) debía elegir como puntos intermedios. En la figura 11.1 se muestran las rutas posibles, en donde cada estado está representado por un círculo numerado. Como se puede observar, se requerían cuatro etapas (jornadas en diligencia) para viajar desde su punto de partida en el estado A (Missouri) a su destino en el estado J (California).

Este cazafortunas era un hombre prudente que estaba preocupado por su seguridad. Después de reflexionar un poco se le ocurrió una manera bastante ingeniosa para determinar la ruta más segura. Se ofrecían pólizas de seguros de vida a los pasajeros. Como el costo de la póliza para cualquier jornada de la diligencia estaba basado en una evaluación cuidadosa de la seguridad del recorrido, la ruta más segura debía ser aquella que tuviera el costo total más barato.

El costo de la póliza estándar para el viaje en diligencia, del estado i al estado j, se denotará por cij,  y es

La atención se centrará sobre la pregunta Cuál es la ruta que minimiza el costo total de la póliza?

Programación dinámica

La programación dinámica es una técnica matemática útil en la toma de una serie de decisiones interrelacionados. Proporciona un procedimiento sistemático para determinar la combinación de decisiones que maximiza la efectividad total.

En contraste con la programación lineal, no cuenta con una formulación matemática estándar para "el" problema de programación dinámica, sino que se trata de un enfoque de tipo general para la solución de problemas y las ecuaciones específicas que se usan se deben desarrollar para que representen cada situación individual. Entonces, se necesita un cierto grado de creatividad y un buen conocimiento de la estructura general de los problemas de programación dinámica para reconocer cuándo un problema se puede resolver por medio de estos procedimientos y cómo esto se puede llevar a cabo. Estas habilidades se pueden desarrollar mejor mediante la exposición de una gran variedad de aplicaciones de la programación  dinámica y con el análisis detallado de las características comunes a estas situaciones. Con este fin se presentarán muchos ejemplos explicativos.

Conclusiones PERT y CPM (II)

Al mismo tiempo que todos estos modelos se ocupan de optimizar la operación de una red existente, el problema del árbol de mínima expansión es un ejemplo sobresaliente de un modelo para optimizar el diseño de una nueva red.

Este capítulo apenas ha tocado la superficie de lo que hasta la fecha se ha desarrollado en el campo de la metodología de redes. Por su naturaleza combinatoria, con frecuencia los problemas de redes son difíciles de resolver, pero se han hecho grandes avances en el desarrollo de técnicas poderosas de modelado y de metodologías de solución que incluso amplían el panorama de nuevas e importantes aplicaciones. De hecho, los nuevos algoritmos han permitido resolver aplicaciones. De hecho, los nuevos algoritmos han permitido resolver con éxito algunos problemas complejos de redes de gran tamaño.

La técnica de redes más utilizada ha sido la de sistemas tipo PERT para la planeación y el control de proyectos. Ha resultado una herramienta valiosa  en la organización de la planeación al probar diferentes opciones, revelar las dimensiones globales y los detalles del plan del proyecto, establecer las responsabilidades gerenciales bien entendidas e identificar en forma realista lo que se puede esperar del proyecto. También establece las bases para que la gerencia tome acciones anticipadas contra posibles problemas durante el desarrollo del proyecto. Aunque no es una panacea, ha sido una gran ayuda para el administrador en numerosas ocasiones.

Conclusiones PERT y CPM (I)

Las redes de ciertos tipos surgen en una amplia variedad de contextos. Las representaciones de redes son muy útiles para visualizar las relaciones y conexiones entre las componentes del sistema. Con frecuencia debe mandarse un flujo de algún tipo a través de la red y es necesario tomar una decisión sobre la mejor manera de hacerlo. En este capítulo se introdujeron dos tipos de modelos y algoritmos de optimización de redes que constituyen una herramienta poderosa para tomar tales decisiones.

El problema del flujo de costo mínimo juega un papel central entre estos nuevos modelos de optimización de redes, tanto por ser una aplicación tan extensa como porque se pueden resolver con gran eficiencia por el método símplex de redes. Dos de sus casos especiales, incluidos en este capítulo, el problema de la ruta más corta y el problema del flujo máximo, también son modelos importantes de optimización de redes, al igual que los otros tres casos especiales presentados en el capítulo 7 (el problema de transporte, el problema de trasbordo y el problema de asignación).

Elección entre PERT y CPM

La elección entre el enfoque de las tres estimaciones de PERT y el método de trueques entre el tiempo y el costo del CPM depende fundamentalmente del tipo de proyecto y de los objetivos gerenciales. El PERT es en particular apropiado cuando se maneja mucha incertidumbre al predecir los tiempos de las actividades y cuando es importante controlar de una manera efectiva la programación del proyecto; por ejemplo, la mayor parte de los proyectos de investigación  y desarrollo caen dentro de esta categoría. Por otro lado, el CPM resulta muy apropiado cuando se pueden predecir bien los tiempos de las actividades (quizá con base en la experiencia) y cando estos tiempos se pueden ajustar con facilidad (por ejemplo, si se cambian tamaños de brigadas), al igual que cuando es importante planear una combinación apropiada entre el tiempo y el costo del proyecto. Este último tipo lo representan muchos proyectos de cosntrucción y mantenimiento.

En la actualidad, las diferencias entre las versiones actuales de PERT y CPM no son marcadas como se han descrito. Muchas versiones de PERT permiten emplear una sola estimación (la más probable) para cada actividad y omiten así la investigación probabilística. Una versión llamada PERT/Costo considera también combinaciones de tiempo y costo en forma parecida al CPM.

Formulación de programación lineal (VII)

La figura 10.31 proporciona una base útil para la toma de decisiones del administrador sobre el valor de T (y la solución óptima correspondiente para xij), cuando los efectos importantes de la duración del proyecto (distintos a los costos directos) son en esencia intangibles. Ahora bien , cuando estos otros efectos que son básicamente financieros (costos indirectos), es apropiado combinar la curva del costo directo total de la figura 10.31 con una curva de costo indirecto total mínimo (supervisión, instalaciones, intereses, multas contractuales) contra t, como se muestra en la figura 10.32. La suma de estas curvas proporcionará la curva del costo total mínimo del proyecto para distintos valores de T. El valor óptimo de T será entonces aquél que minimice esta curva de costo total.

Formulación de programación lineal (VI)

La información básica que se necesita para tomar esta decisión es cómo cambia el costo directo total mínimo al cambiar el valor de T en la formulación anterior, como se muestra en la figura 10.31, Esta información se puede obtener cuando se usa programación lineal paramétrica para obtener la solución óptima como una función de T en todo el intervalo. Existen procedimientos aún más eficientes, para obtener esta información, que explotan la estructura especial del problema.

Formulación de programación lineal (V)

Considérese una solución para las variables xij tal que toda trayectoria de la red es crítica y requiere un tiempo T. Si los valores de las yk satisfacen la propiedad anterior, entonces las yk son los verdaderos tiempos más próximos con yn = T exactamente y la solución completa para las xij y yk satisface todas las restricciones. Sin embargo, si alguna yi se hace un poco más grande, esto crearía una reacción en cadena en la que alguna yj se tendría que hacer un poco más grande para satisfacer todavía las restricciones yi + xij ≤ yj, etc., hasta que en última instancia, yn debe hacerse un poco más grande, es hacer que los tiempos de duración de algunas actividades (posteriores al evento i) sean un poco más pequeñas, aumentando con esto el costo. Por lo tanto, una solución óptima evitará que las yk sean más grandes de lo necesario para satisfacer las restricciones yi + xij ≤ yj.

El problema, como se estableció aquí, supone que se ha fijado una fecha de entrega específica T (tal vez por contrato) para la terminación del proyecto. En realidad, algunos proyectos no tienen fecha de entrega, en cuyo caso no está claro el valor que debe asignarse a T en la formulación de programación lineal. En este tipo de situaciones, la decisión sobre T (que resulta ser la duración del proyecto en la solución óptima), de hecho depende de cuál es el mejor trueque entre el costo total y el tiempo total del proyecto.

Formulación de programación lineal (IV)

Una propiedad interesante de una solución óptima para este modelo es que (en circunstancias normales) toda trayectoria de la red será una ruta crítica que requiere un tiempo T. La razón es que una solución de este tipo satisface las restricciones yn ≤ T, mientras que evita los costos adicionales en que se incurre por acortar el tiempo de cualquier trayectoria.

La clave de esta formulación es la manera en que se introducen las yk al modelo mediante las restricciones yi + xij - yi ≤ 0, con el fin de proporcionar los tiempos más proximos para los respectivos eventos (dados los valores de las xij en la solución básica factible actual). Como los tiempos más próximos se tienen que obtener en orden, todas estas yk son necesarias nada más para obtener finalmente el valor correcto de yn (para los valores actuales de las xij) reforzando así la restricción yn ≤ T. Sin embargo, obtener el valor correcto requiere que el valor de cada yj (incluso el de yn) sea la cantidad más pequeña que satisface todas las restricciones yi + xij ≤ yj. Ahora se hará una descripción breve de por qué (en circunstancias normales) esta propiedad cumple para una solución óptima.

Formulación de programación lineal (III)

Nótese también que ΣKij es una constante fija que puede eliminarse de la función objetivo, de manera que minimizar el costo directo total para el proyecto es equivalente (véase la sección 4.6) a maximizar Σ(-Sij)xij. Por tanto, el problema de programación lineal es encontrar las xij (y las yk correspondientes) tales que

Formulación de programación lineal (II)

Dentro del proceso e incorporación de estas restricciones para todos los eventos, se tiene que cada variable xij aparecerá en exactamente una restricción de este tipo,

Formulación de programación lineal (I)

Para tomar en cuenta el tiempo de terminacion del proyecto en la formulación de programación lineal del problema, se necesita una variable más para cada evento. Esta variable adicional es:

yk = tiempo más próximo (desconocido) para el evento k, el cual es una función deterministica de xij.

Cada yk es una variable auxiliar, es decir, una variable que se introduce al modelo por ser conveniente en la formulación y que no representa una decisión. El método símplex trata a las variables auxiliares igual que a las variables de decisión (xij) normales.

Para ver como se introducen las yk a la formulación, considérese el evento 7 de la figura 10.27. Por definición, su tiempo más proximo es

por lo que estas dos restricciones se pueden incorporar directamente a la formulación de programación lineal (déspues de pasar y7 al lado izquierdo para obtener la forma apropiada). Aún más, adelante se verá por qué la solución óptima que se obtiene con el método símplex para el modelo completo hará de manera automática que el valor de y7 sea la cantidad más pequeña que satisface estas restricciones, por lo que no se necesitan más restricciones para incorporar la definición de y7 al modelo.

Método CPM para trueques entre tiempo y costo (III)

Entonces existe una variable de decisión xij para cada actividad, pero no hay para los valores de i y j que no tienen una actividad correspondiente.

Para expresar el costo directo de la actividad (i,j) como una función (lineal) de xij, denótese la pendiente de la línea que pasa por los puntos normal y de quiebre para la actividad (i,j) por

Método CPM para trueques entre tiempo y costo (II)

El objetivo fundamental del CPM es determinar el trueque entre el tiempo y costo que debe emplearse en cada actividad para cumplir con el tiempo de terminación del proyecto que se programó a un costo mínimo. Una forma de determinar la combinación óptima de tiempo y costo es aplicar programación lineal. Para describir esto, es necesario introducir notación nueva, parte de la cual se resume en la figura 10.30. Sea.

Método CPM para trueques entre tiempo y costo (I)

Las versiones originales de CPM y PERT difieren en dos aspectos importantes. Primero, el CPM supone que los tiempos de las actividades son deterministicos (es decir, se pueden predecir de manera confiable sin incertidumbre significativa), por lo que no necesita las tres estimaciones que se acaban de describir. Segundo, en lugar de dar una importancial primordial al tiempo (explicitamente), el CPM asigna la misma importancia al tiempo y al costo y se pone esto de relieve al construir una curva de tiempo-costo para cada actividad, como la que se muestra en la figura 10.30. Esta curva representa la relación entre el costo directo presupuestado para la actividad y su tiempo de duración resultante. Por lo general, la gráfica se basa en dos puntos: el normal y el intensivo de quiebre. El punto normal da el costo y el tiempo necesarios cuando la actividad se realiza en la forma normal, sin incurrir en costos adicionales (horas extra de mano de obra, equipo o materiales especiales para ahorrar tiempo, etc.), para celerar la actividad. Por el contrario, el punto de quiebre proporciona el tiempo y el costo necesarios cuando se realiza la actividad en forma intensiva o de quiebre; esto es, se acelera completamente sin reparar costos, con el fin de reducir su tiempo de duración lo más que se pueda. Como una aproximación, se supone entonces que todos los trueques intermedios entre tiempo y costo son posibles y que se encuentran sobre el segmento de línea que une estos dos puntos (obsérvese el segmento de línea oscuro en la figura 10.30). Así, las únicas estimaciones que tiene que obtener el personal del proyecto son el costo y el tiempo para estos dos puntos.

Enfoque de tres estimaciones de PERT (V)

La tercera suposición es que el tiempo del proyecto tiene una distribución normal. La lógica de esta suposición es que este tiempo es la suma de muchas variables aleatorias independientes y la versión general del teorema del límite central implica que la distribución de probabilidad de tal suma es aproximadamente normal en diversas condiciones. Entonces, dadas la media y la variancia, es sencillo encontrar la probabilidad de que esta variable aleatoria normal (tiempo del proyecto) sea menor que el tiempo de terminación programado.

Como ejemplo supóngase que el proyecto de construcción de una casa de la figura 10.27 se programa para terminarse en 50 días hábiles y que tanto el valor esperado como la variancia de los tiempos de cada actividad resultaron ser iguales a las estimaciones dadas en la figura 10.28. Entonces, al sumar las cantidades (por separado) sobre una ruta crítica, los dos, el valor esperado y la variancia del tiempo del proyecto son 44, por que la desviación estándar es Raiz de 44 = 6.63. Así, el tiempo de terminación programado está alrededor de 0.9 desviaciones estándar del tiempo esperado del proyecto. La tabla A5.1 da una probabilidad aproximada de 1 - 0.1841 = 0.82 de que este programa se cumpla.

Enfoque de tres estimaciones de PERT (IV)

Nótese que el medio intervalo (a+b)/2 se encuentra a la mitad entre a y b, de manera que te es la media arimética ponderada de la mdoa y la mitad del intervalo, con un peso de dos tercios para la moda. Aunque la suposición de una distribución beta es arbitraria, sirve para el propósito de localizar el valor esperado respecto a m, a y b de una manera que parece ser razonable.

DEspués de calcular el valor esperado y la variancia estimados para cada una de las actividades, se necesitan tres suposiciones adicionales (o aproximaciones) para poder calcular la probabilidad de terminar el proyecto a tiempo. Una es que los tiempos de las actividades son estadísticamente independientes. Una segunda es que la ruta crítica (en términos de los tiempos esperados) siempre requiere un tiempo total mayor que cualquier otra ruta. Esto implica que el valor esperado y la variancia del tiempo del proyecto son exactamente la suma de los valores esperados y las variancias (respectivamente) de los tiempos para las actividades sobre la ruta crítica.

Enfoque de tres estimaciones de PERT (III)

Para obtener la estimación del valor esperado (te), también es necesaria una suposición sobre la forma de la distribución de probabilidad. Se supone que la distribución es (al menos aproximadamente) una distribución beta. Este tipo de distribución tiene la forma que se muestra en la figura 10.29, que es razonable para este propósito.

Si se usa el modelo ilustrado en la figura 10.29, el valor esperado del tiempo de una actividad es aproximadamente.

Enfoque de tres estimaciones de PERT (II)

Se hacen dos suposiciones para convertir m, a y b en estimaciones del valor esperado (tc) y la variancia (σ²) del tiempo que requiere la actividad. Una suposición es que σ, la desviación estándar (raíz cuadrada de la variancia), es igual a un sexto del intervalo de los requerimientos de tiempo razonablemente posibles; esto es,

es la estimación deseada de la variancia. El razonamiento para hacer esta suposición es que se considera que las colas de muchas distribuciones de probabilidad (como en la distribución normal) están más o menos a tres desviaciones estándar de la media, de manera que existe una dispersión de alrededor de seis desviaciones estandar entre las colas. Por ejemplo, las cartas de control que se usan normalmente para el control estadístico de calidad están construidas de manera que la dispersión entre los límites de control se estima en seis desviaciones estándar.

Enfoque de tres estimaciones de PERT (I)

Hasta ahora se ha supuesto implícitamente que se pueden obtener estimaciones con una exactitud razonable del tiempo requerido para cada actividad del proyecto. En la realidad, con frecuencia existe bastante incertidumbre sobre cuáles serán estos tiempos; de hecho se trata de una variable aleatoria que tiene una cierta distribución de probabilidad. La versión original de PERT toma en cuenta esta incertidumbre usando tres tipos diferentes de estimaciones para los tiempos de las actividades, con el fin de obtener información básica sobre su distribución de probabilidad. Esta información para todos los tiempos de las actividades se utiliza para estimar la probabilidad de determinar el proyecto en la fecha programada.

Las tres estimaciones empleadas por PERT para cada actividad son una estimación más probable, una estimación optimista y una estimación pesimista. La estimación más probable (denotada por m) intenta ser la estimación más realista del tiempo que puede consumir una actividad. En términos estadísticos, es una estimación de la moda (el punto más alto) de la distribución de probabilidad para el tiempo de la actividad. La estimación optimista (denotada por a) procura ser el tiempo poco probable pero posible si todo sale mal. En términos estadísticos, se trata en esencia de una estimación de la cota superior de la distribución de probabilidad. En la figura 10.29 se muestra la localización ideal de estas tres estimaciones con respecto a la distribución de probabilidad.

Planeación y control de proyectos con PERT-CPM (X)

Resulta interesante observar en la tabla 10.8  que mientras que todos los eventos sobre la ruta crítica (inclusive el 4 y el 7) necesariamente tienen holgura cero; no es así para la actividad (4,7) ya que su tiempo estimado es menor que la suma de los tiempos estimados para las actividades (4,5) y (5,7). En consecuencia, estas últimas actividades están en la ruta critica, pero la actividad (4,7) no lo está.

ESta información sobre los tiempos más cercanos y más lejanos, las holguras y la ruta crítica, es invaluable para el administrador del proyecto. Entre otras cosas, le permite investigar el efecto de posibles mejoras en la planeación para determinar en dónde debe hacerse un esfuerzo especial para mantenerse a tiempo y evaluar el impacto de los retrasos.

Planeación y control de proyectos con PERT-CPM (IX)

Si se verifican en la tabla 10.8 las actividades que tienen holgura cero, se observa que el ejemplo de la construcción de una casa tiene una ruta crítica, 1→ 2→ 3→ 4→ 5→ 7→ 9→ 12→ 13,como se muestra en la figura 10.28 con las flechas más oscuras. Esta secuencia de actividades críticas debe mantenerse estrictamente a tiempo, si se quiere evitar retrasos en la terminación del proyecto. Otros proyectos pueden tener más de una ruta crítica; por ejemplo, nótese lo que pasaría en la figura 10.28 si el tiempo estimado de la actividad (4,6) se cambiara de 6 a 10.

Planeación y control de proyectos con PERT-CPM (VIII)

Así, si se supone que todo lo demás marcha a tiempo, la holgura para un evento indica cuánto retraso se puede tolerar para llegar a ese evento sin retrasar la terminación del proyecto, y la holgura para una actividad indica lo mismo respecto a un retraso en la terminación de esa actividad. En la tabla 10.8 se ilustran los cálculos de estas holguras para el proyecto de construcción de la casa.

Una ruta crítica de un proyecto es una ruta cuyas actividades tienen todas holgura cero. (Todas las actividades y eventos que tienen holgura cero deben estar sobre una ruta crítica, pero no otras).

Planeación y control de proyectos con PERT-CPM (VII)

En este caso, los tiempos más lejanos se obtienen sucesivamente para los eventos al efectuar una pasada hacia atrás a través de la red, comenzando con los eventos finales y trabajando hacia atrás en el tiempo hasta los iniciales. Para cada evento se hace un cálculo del tiempo final en el que puede ocurrir un evento de manera que los que le siguen ocurran en su tiempo más lejano, si cada actividad involucrada consume exactamente su tiempo estimado. Este proceso se ilustra en la tabla 10.7, en donde 44 días es el tiempo más próximo y el tiempo más lejano para la terminación del proyecto de construcción de la casa. Los tiempos más lejanos que se obtuvieron se encuentran también en la figura 10.28 como el segundo número que se da par cada nodo.

Sea la actividad (i,j) la actividad que ca del evento i al evento j en la red del proyecto.

La  holgura para un evento es la diferencia entre su tiempo más lejano y su tiempo más próximo La holgura para una actividad (i,j) es la diferencia entre [el tiempo más lejano del evento j] y [el tiempo más próximo del evento i más el tiempo estimado para la actividad].

Planeación y control de proyectos con PERT-CPM (VI)

Los tiempos más próximos se obtienen al efectuar una pasada hacia adelante a través de la red, comenzando con los eventos iniciales y trabajando hacia adelante en el tiempo, hasta los eventos finales. Para cada evento se hace un cálculo del tiempo en el que ocurrirá cada uno, si cada evento precedente inmediato ocurre en su tiempo más próximo y cada actividad que interviene consume exactamente su tiempo estimado. La iniciación del proyecto se debe etiquetar como el tiempo 0. Este proceso se muestra en la tabla 10.6 para el ejemplo considerado en las figuras 10.27 y 10.28. Los tiempos más proximos que se obtuvieron están registrados en la figura 10.28, como el primero de los dos números que se dan para cada nodo.

El tiempo más lejano para un evento es el último momento (estimado) en el que puede ocurrir sin retrasar la terminación del proyecto más allá de su tiempo más próximo.

Planeación y control de proyectos con PERT-CPM (V)

Una vez desarrollada la red de un proyecto, el siguiente paso es estimar el tiempo que se requiere para cada actividad. Estas estimaciones para el ejemplo de la construcción de una casa de la figura 10.27 e muestra en la figura 10.28 con los números más oscuros (en unidades de días de trabajo) que aparecen junto a los arcos. Esto tiempos se usan para calcular dos cantidades básicas para cada evento, a saber, su tiempo más próximo y su tiempo más lejano.


El tiempo más próximo para un evento es el tiempo (estimado) en el que ocurrirá el evento si las actividades que lo preceden comienzan lo más pronto posible.

Planeación y control de proyectos con PERT-CPM (IV)

Cada arco juega un doble papel, el de representar una actividad y el de ayudar a representar las relaciones de precedencia entre la distintas actividades. En ocasiones, se necesita un arco para definir las relaciones de precedencia aun cuando no haya una actividad real que representar. En este caso, se introduce una actividad fícticia que requiere un tiempo cero, en donde el arco que representa esta actividad ficticia se muestra como una flecha punteada que indica esa relación de precedencia. Por ejemplo, considérese el arco 5→ 8 que representa una actividad ficticia en la figura 10.27; el único objeto de este arco es indicar que la colocación de la tubería exterior debe estar terminada antes de poder comenzar a pintar los exteriores.

Una regla común para construir estas redes de proyectos es que dos nodos no pueden estar conectados directamente por más un arco. Las actividades ficticias también se pueden usar para evitar violar esta regla cuando se tienen dos o más actividades concurrentes en la figura 10.27, se ilustra esto con el arco 11→ 12. El único propósito de este arco es indicar que debe terminarse la colocación de pisos antes de instalar los acabados interiores sin tener dos arcos del nodo 9 al nodo 12.

Planeación y control de proyectos con PERT-CPM (III)

En la terminología de PERT, cada arco de la red representa una actividad, es decir, una de las tareas que requiere el proyecto. Cada nodo representa un evento que por lo general se define como  el momento en que se terminan todas las actividades que llegan a ese nodo. Las putas de flecha indican la secuencia en la que debe ocurrir cada uno de esos eventos. Lo que es más, un evento debe preceder a la iniciación de las actividades que salen de ese nodo. (En la realidad, con frecuencia se pueden traslapar etapas sucesivas de un proyecto, por lo que la red puede representar una aproximación idealizada del plan de un proyecto.)

El nodo hacia el que todas las actividades se dirigen es el evento que corresponde a la teminación del proyecto actual planeado. La red puede representar bien el plan  para un proyecto desde su concepción, o bien, si el proyecto ya comenzó, el plan para su terminación. En el último caso, cada nodo de la red sin arcos que llegan representa el evento de continuar una actividad en marcha o el evento de iniciar una nueva actividad que puede comenzar en cualquier momento.

Planeación y control de proyectos con PERT-CPM (II)

El objetivo de los sistemas tipo PERT consiste en ayudar en la planeación y el control por loq ue no implica mucha optimización directa. Algunas veces el objetivo primario es determinar la probabilidad de cumplir con las fechas de entrega especificas. También identifica aquellas actividades que es más probable que se conviertan en cuellos de botella y señala, por ende, en qué puntos debe hacerse el mayor esfuerzo para no tener retrasos. Un tercer objetivo es evaluar el efecto de los cambios en el programa. Por ejemplo, se puede valorar el efecto de un posible cambio en la asignación de recursos de las actividades menos críticas a aquéllas que se identificaron como cuellos de botella. Se puede evaluar otros trueques entre recursos y desempeño. Otra aplicación importante es la evaluación del efecto de desviarse de lo programado.

Todos los sistemas tipo PERT emplean una red de proyecto para visualizar gráficamente las interrelaciones entre sus elementos. Esta representación del plan de un proyecto muestra todas las relaciones de precedencia, respecto al orden en que se deben realizar las actividades. En la figura 10.7 se muestran estas característica para la red de proyecto inicial para la construcción de una casa. Esta red indica que la excavación debe hacerse antes de poner los cimientos y después los cimientos deben completarse antes de colocar las paredes. Una vez que se levantan las paredes se pueeden realizar tres actividades en parelelo (instalación eléctrica, tubería exterior y colocado del techo.). Al seguir la red hacia adelante se ve el orden de la tareas subsecuentes.