Procesos Estocásticos (I)

Un proceso estocástico se define sencillamente como una colección indexada de variables aleatorias {Xt}, en donde el índice t toma valores de un conjunto T dado. Con frecuencia T se toma como el conjunto de enteros no negativos y Xt representa una característica de interés medible en el tiempo t. Por ejemplo, el proceso estocástico, X1, X2, X3,....., puede representar la colección de niveles de inventario semanales (o mensuales) de un producto dado, o puede representar la colección de demandas semanales (o mensuales) de este producto.

Existen muchos procesos estocásticos interesantes. Un estudio del comportamiento de un sistema en operación durante algún periodo suele llevar al análisis de un proceso estocástico con la siguiente estructura. En puntos específicos del tiempo t etiquetados 0,1,......., el sistema se encuentra exactamente en una de un número finito de categorías o estados mutuamente excluyentes y exhaustivos, etiquetados 0,1,....,M. Los puntos en el tiempo pueden encontrarse a intervalos iguales o el espacio entre ellos pueden depender del comportamiento general del sistema físico en el que se encuentra sumergido el proceso estocástico, por ejemplo, el tiempo entre ocurrencias de algún fenómeno de interés. Aunque los estados pueden constituir una caracterización tanto cualitativa como cuantitativa del sistema, no hya pérdida de generalidad con las etiquetas numéricas 0,1,....,M, que se usarán en adelante para denotar los estados posibles del sistema. Así, la representación matemática del sistema físico es la de un proceso estocástico {Xt}, en donde las variables aleatorias se observan en t = 0, 1, 2,......, y en donde cada variable aleatoria puede tomar el valor de cualquiera de los (M + 1) enteros 0, 1,.....,M. EStos enteros son una caracterización de los (M + 1) estados del proceso. Debe hacerse notar que a cada estado que alcanza el proceso estocástico se le da una etiqueta que denota el estado físico del sistema. Es sólo por conveniencia en la notación que este conjunto se etiqueta 0,1,...., M.