Juegos con estrategias mixtas (III)

En donde pij es el pago si el jugador I usa la estrategia pura i y el jugador II usa la estrategia pura j. En el ejemplo de estrategias mixtas que se acaba de dar existen cuatro pagos posibles (-2, 2, 4-3), en donde cada uno ocurre con una probabilidad de 1/4; el pago esperado es de 1/4(-2 + 2 + 4 -3) = 1/4. Así, esta medida de desempeño no revela nada sobre los riesgos inherentes al juego, pero indica a qué cantidad  tiende el pago promedio si el juego se efectuara muchas veces.

Juegos con estrategias mixtas (II)

En el momento de jugar, es necesario que cada participante use una de sus estrategias puras, pero esta estrategia pura se elegirá mediante algún dispositivo aleatorio para obtener una observación aleatoria para obtener una observación aleatoria que siga la distribución de probabilidad específicada por la estrategia mixta; esta observación indicará la estrategia pura que se debe usar.

Juegos con estrategias mixtas (I)

Siempre que un juego no tenga punto silla, la teoría de juegos aconseja a cada jugador asignar una distribución de probabilidad sobre su conjunto de estrategias. Para expresar esto matemáticamente, sea:

xi = probabilidad de que el jugador I use la estrategia i (i= 1,2,......,m)
yj = probabilidad de que el jugador II use la estrategia j (j = 1,2,.....n)

donde m y n son el número de estrategias disponibles. Así, el jugador I especificará su plan de juego asignando valores a x1, x2, ..... xm. Como estos valores son probabilidades, tendrán que ser no negativos y sumar 1. De igual manera, el plan para el jugador II se describe mediante los valores que asigne a sus variables de decisión y1,y2,.....yn Por lo general se hace referencia a estos planes (x1, x2, ......, xm) y (y1, y2....., yn) con el nombre de estrategias mixtas, y entonces las estrategias originales se llaman estrategias puras.

Formulación Soluciones de juegos sencillos - Ejemplo prototipo (XII) Variación 3

El hecho fundamental parece ser que siempre que se puede predecir la estrategia de un jugador, el oponente puede aprovechar esta información para mejorar su posición. Por tanto, una característica esencial de un plan racional para jugar un juego como este es que ningún jugador pueda predecir qué estrategia usará el otro. Entonces, en lugar de aplicar algún criterio conocido para determinar una sola estrategia que se usará en forma definitiva, es necesario elegir entre las estrategias aceptables de alguna manera aleatoria. Al hacer esto, ningún jugador conoce de antemano cuál de sus propias estrategias se usará, mucho menos la de su oponente.

Esto sugiere, en términos muy generales, el tipo de enfoque que se requiere para juegos sin punto silla. La siguiente sección presenta este enfoque en forma más completa. Dadas estas bases, la atención gira hacia los procedimientos para encontrar la manera óptima de jugar estos juegos. se seguirá usando esta variación específica del problema de la campaña política con el fin de simplificar las ideas conforme se vayan desarrollando.

Formulación Soluciones de juegos sencillos - Ejemplo prototipo (XI) Variación 3

Cuáles serán las consecuencias si ambos jugadores planean usar las estrategias mencionadas? Se puede observar que el jugador I ganaría 2 al jugador II, lo que molestaría a esta último.

Como éste es racional, puede prever el resultado, con lo que concluiría que puede actuar mejor si gana 2 en lugar de perder 2 al jugar la estrategia 2. Como el jugador I tambiés es racional, prevendría este cambio y concluiría que él también puede mejorar mucho, de -2 a 4, si cambia a la estrategia 2. Al darse cuenta de esto, el jugador II tomaría en cuenta regresar a la estrategia 3 para convertir la pérdida de 4 en una ganancia de 3. Este cambio posible causaría que el jugador I usara de nuevo la estrategia 1, despues de lo cual volvería a comenzar todo el el ciclo.

En pocas palabras, la solución sugerida en un principio (estrategia 1 para el jugador 1 y estrategia 3 para el jugador II) es una solución inestable, con esto se ve la necesidad de desarrollar una solución más satisfactoria. Pero, qué clase de solución debe ser ésta?

Formulación Soluciones de juegos sencillos - Ejemplo prototipo (X) Variación 3

La información reciente sobre los resultados de la campaña da como resultado la matriz de pagos final que se muestra en la tabla 12.5 Cómo debe jugarse este juego?
Supóngase que ambos jugadores quieren aplicar el criterio minimax igual que en la variación 2. El jugador I puede garantizar que no perderá más de 2 si juega la estrategia 1. DE la misma manera, el jugador II puede asegurar que no perderá más de 2 si elige la estrategia 3.
Sin embargo, obsérvese que el valor máximo (-2) y el valor minimo (2) no coniciden en este caso. El resultado es que no hay punto silla.

Formulación Soluciones de juegos sencillos - Ejemplo prototipo (IX) Variación

Nótese que en esta matriz de pagos el mismo elemento proporciona tanto el valor mínimo como el máximo. Este interesante hecho se debe a que tal elemento, por un lado, es el mínimo del renglón y, por el otro, el máximo de la columna. Esta posición de un elemento se llama punto silla.

El hecho de que este juego posee un punto silla es en realidad esencial para determinar cómo debe jugarse. A causa de dicho punto, ningún jugador puede aprovechar la estrategia de su oponente para mejorar su propia posición. En particular, cuando el jugador II predice o sabe que el jugador I empleará la estrategia 2, él sólo aumentará sus pérdidas si cambia su plan original de usar la estrategia 2. De igual manera, el jugador I sólo empeoraría su posición si cambiara su plan. Asi, ningún jugador tiene motivos para considera un cambio de estrategia, ni para quedar con ventaja respecto a su oponente ni para evitar que su oponente puede con ventaja. Entonces, ésta es una solución estable, y cada jugador debe, exclusivamente, emplear sus respectivas estrategias maximin y minimax.

La siguiente variación ilustrará que algunos juegos no tienen punto silla y que en ese caso se requiere un análisis más complicado.

Formulación Soluciones de juegos sencillos - Ejemplo prototipo (VIII) Variación

Si ambos jugadores eligen la estrategia 3, el resultado es que quedan a mano. Así, en este caso, ningún jugador mejora con su mejor garantía, pero ambos están forzando al oponente a la misma posición. Aunque cada jugador deduzca la estrategia del otro, no puede explotar esta información para mejorar su posición..
El producto final de esta línea de razonamiento es que cada jugador debe jugar de tal manera que minimice su pérdida máxima siempre que el resultado de su elección no pueda ser aprovechado por su oponente para mejorar su posición. Esto se conoce como criterio de mínimax y es un criterio estándar que propone la teoría de juegos para elegir una estrategia. En términos de la matriz de pagos, implica que el jugador 1 debe elegir aquella estrategia  cuyo pago mínimo sea el mayor, mienstras que el jugador II debe elegir aquélla cuyo pago máximo al jugador I sea el mejor. Este criterio se muestra en la tabla 12.4 en donde se identifica la estrategia 2 como la estrategia "maximin" para el jugador I, y la estrategia 2 es la estrategia minimax para el jugador II. El pago de 0 que resulta es el valor del juego, por lo que éste es un juego justo.

Formulación Soluciones de juegos sencillos - Ejemplo prototipo (VII) Variación

Ahora supóngase que los datos actuales son los que se proporcionan en la tabla 12.4 como la matriz de pagos para los políticos (jugadores). En este juego no tiene estrategias dominadas por lo que no es obvio qué deben hacer los jugadores . Qué línea de razonamiento proporciona la teoría de juegos para emplear en este caso?

Considérese al jugador I: si elige la estrategia 1 puede ganar 6 o puede perder 3. Como el jugador II es racional 1 perderá. De manera análoga, al seleccionar la estrategía 3 el jugador 1 puede ganar 5, pero quizá sea más probable que su oponente racional evite esta pérdida y en su lugar logre que él pierda, lo que puede ascender a 4. Por otro lado, si el jugador 1 elige la estrategia 2, tiene garantizado que perderá  y quizá gane algo. Entonces, por proporcionar una mejor garantía que las otras, la estrategia 2 parece ser la elección "racional" del jugador 1 contra su oponente racional.


Ahora considérese  al jugador II. Puede perder tanto como 5 o 6 al usar las estrategias 1, o 3, pero está garantizado que al menos sale a mano con la estrategia 2. Entonces, si usa el mismo razonamiento  para buscar su mejor garantía contra su oponente racional, parece que la mejor elección es la estrategia 2.

Formulación Soluciones de juegos sencillos - Ejemplo prototipo (VI)

En general, el pago para el jugador I cuando ambos jugadores juegan de manera óptima recibe el nombre de valor del juego. Se dice que se trata de un juego justo nada más cuando el juego tiene valor cero.

El concepto de estrategia dominada es muy útil para reducir el tamaño de la  matriz de pagos en cuestión y en algunos casos raros como éste puede, de hecho, identificar la solución óptma del juego. Sin embargo, casi todos los juegos para poder resolverlos, como se ilustra en dos variaciones siguientes del ejemplo.

Formulación Soluciones de juegos sencillos - Ejemplo prototipo (V)

En este punto, la estrategia 2 del jugador I se convierte en dominada por la estrategia 1, ya que esta última es mejor en la columna 2 ( 2 ≥ 0) e igual en la columna 1 (1 ≥ 1). Si se elimina esta estrategia dominada se llega a:

Formulación Soluciones de juegos sencillos - Ejemplo prototipo (IIV)

Como se supone que ambos jugadores son racionales, también el jugador II puede deducir que el jugador I sólo dispone de estas dos estrategias. Entonces, ahora el jugador II tiene una estrategia dominada: la estrategia 3, que está dominada tanto por la estrategia 1 como por la 2 puesto que siempre tienen menores pérdidas (pagos al jugador I) en esta matriz de pagos reducida (para la estrategia 1: 1 ≤ 4, 1 ≤5; para la estrategia 2: 2 ≤ 4, 1 ≤ 5). Al eliminar la estrategia siguiente se obtiene:

Formulación Soluciones de juegos sencillos - Ejemplo prototipo (IV)

Esta situación es bastante especial, en ella se puede obtener la respuesta con sólo aplicar el concepto de estrategia dominada para eliminar una serie de estrategias inferiores hasta que quede sólo una para elegir. Específicamente, se puede eliminar una estrategia cuando está dominada por otra, es decir, si existe otra estrategia que siempre es al menos tan buena como ésta, sin importar lo que hace el oponente.

En principio, la tabla 12.3 no incluye estrategias dominadas para el jugador II; pero para el jugador I, la estrategia 3 está dominada por la estrategia 1, ya que tiene pagos más altos (1 ≥ 0, 2 ≥ 1, 4 ≥ -1) independientemente de lo que haga el jugador II. Al eliminar la estrategia 3, se obtiene la matriz de pagos reducida:

Formulación Soluciones de juegos sencillos - Ejemplo prototipo (III)

También debe hacerse notar que esta matriz de pagos no sería apropiada si se contara con información adicional. En particular, si se conociera cuáles son los planes de votación de las mesas dos días antes de las elecciones, el único significado de los datos proporcionados en la tabla 12.2 sería el de indicar cuál es el político que ganaría las elecciones con cada combinación de estrategias. Como la meta final es ganar la elección y la consecuencia del tamaño de la mayoria es relativa, los elementos de utilidad en la matriz debe ser constantes posibles (como +1 cuando el político I gana y -1 cuando pierde). Aun cuando sólo se pudiera determinar una probabilidad de ganar para cada combinación de estrategias, los elementos apropiados de la matriz serían la probabilidad de ganar menos la probabilidad de perder, pues de esta forma representarían las utilidades esperadas. Sin embargo, casi nunca se dispone de datos con la suficiente exactitud como para hacer ese tipo de determinaciones.

Con la forma que se usa en la tabla 12.2, se darán tres conjuntos de datos para matria de pagos, a fin de ilustrar cómo se resuelven tres tipos distintos de juegos.


Variación I: si la tabla 12.3 representa la matriz de pagos para los políticos (jugadores), la pregunta es: Cuál será la estrategia que deberá elegir cada uno?

Formulación Soluciones de juegos sencillos - Ejemplo prototipo (II)

Por el contrario, las estrategias serían más complicadas en una situación diferente en la que cada equipo político pudiera saber en dónde pasará su oponente el primer día de concluir sus propios planes para el segundo día. En ese caso, una estrategia normal sería: pasar el primer dia de Bigtown; si el oponente también pasa el día Bigtown, entonces quedarse el segundo día ahí; sin embargo, si el oponente pasa el primer día en Megalopolis, entonces pasar el segundo día en dicho lugar. Habría ocho estrategias de este tipo , una para cada combinación de las dos posibilidades para el primer día, las dos para el primer día del oponente y las dos alternativas para el segundo día.

Cada elemento de la matriz de pagos para el jugador I representa la utilidad para ese jugador (o la utilidad negativa para el jugador II) de los resultados obtenidos cuando los dos jugadores emplean las estrategias correspondientes. Desde el punto de vista de los políticos, el objetivo es ganar votos y cada voto adicional (antes de conocer el resultado de las elecciones) tiene el mismo valor para él. Entonces, los elementos apropiados en la matriz de pagos se darán en términos del total neto de votos ganados a su oponente (esto es, la suma de la cantidad neta de cambios de votos en las dos ciudades) como resultado de estos dos días de campaña. En la tabla 12.2 se resume esta formulación.

Formulación Soluciones de juegos sencillos - Ejemplo prototipo

Para formular este problema como un juego de dos personas y suma cero, se deben identificar los dos jugadores (obviamente los dos políticos), las estrategias de cada jugador  y la matriz de pagos.

Según la forma en que se estableción el problema, cada jugador tiene tres estrategias:

Estrategia 1 = pasar un día en cada ciudad

Estrategia 2 = pasar ambos dias en Bigtown

Estrategia 3 = pasar ambos días en Megalopolis.

Soluciones de juegos sencillos - Ejemplo prototipo

Dos políticos - contendientes entre sí- se postularon para el Senado de Estados Unidos. En este momento ellos están haciendo sus planes de campaña para los dos últimos días anteriores alas elecciones; se espera que dichos días sean cruciales por ser tan próximos al final Por esto, ambos quieren emplearlos para hacer campaña en dos ciudades importantes: Bigtown y Megalopolis. Para evitar pérdidas de tiempo, están planeando viajar en la noche y pasar un día completo en cada ciudad o dos días en sólo una de las ciudades. Como deben hacer los arreglos necesarios por adelantado, ninguno de los dos sabrá lo que su oponente tiene planeado hasta después de concretar sus propios planes. Cada político tiene un jefe de campaña en cada ciudad  para asesorarlo en cuanto al impacto que tendrán (en términos de votos ganados o perdidos) las distintas combinaciones posibles de los días dedicados a cada ciudad por ellos o por sus oponentes. Ellos quieren emplear esta información para escoger su mejor estrategia para estos dos días.

Formulación de juegos de dos personas con suma cero (IV)

Un objetivo primordial de al teoría de juegos es establecer criterios racionales para seleccionar una estrategia, los cuales implican dos suposiciones importantes.

1. Ambos jugadores son racionales
2. Ambos jugadores eligen sus estrategias sólo para promover su propio bienestar (sin compasión para el oponente)

La teoría de juegos se contrapone al análisis de decisión (véase el capitulo 22), en donde se hace la suposición de que el tomador de decisiones está jugando un juego contra un oponente pasivo, la naturaleza, que elige sus estrategias de alguna manera aleatoria.

Se desarrollará el criterio estándar de teoría de juegos para elegir las estrategias mediante ejemplos ilustrativos. En particular, la sección que sigue presenta un ejemplo prototipo que ilustra la formulación, de un juego y su solución en algunas situaciones sencillas. Después, en la sección 12.3, se desarrollará una variación más complicada de este juego para obtener un criterio más general. Las secciónes 12.4 y 12.5 describen un procedimiento gráfico y una formulación de programación líneal para juegos de este tipo.

Formulación de juegos de dos personas con suma cero (III)

Por lo general, la matriz de pagos muestra la ganancia (positiva o negativa) que resultaría con cada combinación de estrategias para el jugador I. Se da de esta manera, ya que la matriz del jugador II es el negativo de ésta, debido a la naturaleza de la suma cero del juego.

Los elementos de la matriz pueden tener cualquier tipo de unidades, como dólares, siempre que representen con exactitud la utilidad del jugador I en el resultado correspondiente. Debe hacerse hincapié en que la utilidad no necesariamente es proporcional a la cantidad del dinero (o cualquier otro bien) cuando se manejan cantidades grandes. Por ejemplo, para una persona pobre $2 millones (después de impuestos) tal vez vale mucho más que el doble de $1 millón. En otras palabras, si a una persona se le da a elegir entre: 1) recibir, con el 50% de posibilidades, $2 millones en lugar de nada y 2) recibir $1 millón con seguridad, ese individuo tal vez prefiriera este último. Por otro lado, el resultado corresponde a un elemento 2 en una matriz de pagos debe "valer el doble" para el jugador I que el resultado correspondiente a un elemento 1, Así dada la elección, debe serle indiferente un 50% de posibilidades de recibir el primero resultado (en lugar de nada) y recibir en definitiva el último resultado.

Formulación de juegos de dos personas con suma cero (II)

Antes de iniciar el juego, cada jugador conoce las estrategias de que dispone, las que tiene su oponente y la matriz de pagos. Una jugada real en el juego consiste en que los dos jugadores elijan al mismo tiempo una estrategia sin saber cuál es la elección de su oponente.

Una estrategia puede constituir una acción sencilla, como mostrar un número par o non de dedos en el juego de pares y nones. Por otro lado, en juegos más complicados que llevan e sí una serie demovimientos, una estrategia es una regla predeterminada que especifica por completo cómo se intenta responder a cada circunstancia posible en cada etapa del juego. Por ejemplo, una estrategia de un jugador de ajedrez indica cómo hacer el siguiente movimiento para todas las posiciones posibles en el tablero, de manera que el número total de estrategias posibles sería astronómico. Las aplicaciones de la teoría de juegos involucran situaciones competitivas mucho menos complicadas que el ajedrez pero las estrategias que se manejan pueden llegar a ser bastante complejas.

Formulación de juegos de dos personas con suma cero (I)

Para ilustrar las características básicas de un modelo de teoría de juegos, considérese el juego llamado pares y nones. Éste consiste nada más en que los dos jugadores muestran al mismo tiempo uno o dos dedos. Si el número de dedos coincide, el jugador que apuesta a pares (por ejemplo, el jugador I) gana la apuesta (digamos $1) al jugador que va por nones (jugador II). Si el número no coincide, el jugador I paga $1 al jugador II. Entonces, cada jugador tiene dos estrategias: mostrar uno o dos dedos. La tabla 12.1 contiene el pago en dólares que resulta para el jugador I en una matriz de pagos.

En general, un juego de dos personas se caracteriza por

1. Las estrategias del jugador I.
2. Las estrategias del jugador II
3. La matriz de pagos

Teoría de Juegos

La vida está llena de conflicto y competencia. Los numeros ejemplos que involucran adversarios en conflicto incluyen juegos de mesa, combates militares, campañas políticas, campañas de publicidad y de comercialización entre empresas de negocios compiten, etc. Una caracteristica básica en muchas de estas situaciones es que el resultado final depende, primordialmente, de la combinación de estrategias seleccionadas por los adversarios. La teoría de juegos es una teoría matemática que estudia las características generales de las situaciones competitivas como éstas de una manera formal y abstracta. De una importancia especia a los procesos de toma de decisiones de los adversarios.

Como se analiza en la sección 12.6 , la investigación sobre teoría de juegos continua sondeando las situaciones competitivas de tipo complicado. No obstante, este capítulo se aboca al caso más sencillo conocido como juegos de dos personas con suma cero. Como su nombre lo dice, en estos juegos participan sólo dos adversarios o jugadores (que pueden ser ejercitos, equipos, empresas, etc) Se llama juegos con suma cero porque un jugador gana lo que el otro pierde, de manera que la suma de sus ganancias netas es cero.

Después de introducir el modelo básico para los juegos de dos personas con suma cero en la sección 12.1, las cuatro secciones siguientes describen y ejemplifican distintos enfoques para resolver este tipo de juegos. Más adelante se concluye el capítulo mencionando otro tipo de situaciones competitivas que se estudian en otras ramas de la teoría de juegos.

Conclusiones programación dinámica

Programación dinámica es una técnica muy útil para tomar una sucesión de decisiones interrelacionadas. Requiere la formulación de una relación recursiva apropiada para cada problema individual. Sin embargo, proporciona grandes ahorros computacionales en comparación con la enumeración exhaustiva para encontrar la mejor combinación de decisiones, en especial cuando se trata de problemas grandes. Por ejemplo, si un problema tiene 10 etapas con 10 estados y 10 decisiones posibles en cada etapa, la enumeración exhustiva tendría que considerar hasta 10^10 combinaciones, mientras que la programación dinámica necesita hacer cuando mucho 10³ cálculos, (10 para cada estado en cada etapa).

Este capítulo presentó sólo programación dinámica con un número finito de etapas. El capítulo 20 está dedicado a un tipo general de modelos para programación dinámica probabílistica en donde las etapas continuan indefinidamente, a saber, los procesos markovianos de decisión.

Procedimiento de Solución Ejemplo 7 - Ganadora en Las Vegas (III)

Esta relación recursiva conduce a los resultados siguientes

Formulación Ejemplo 7 - Ganadora en Las Vegas (II)

La formulación de programación dinámica para este problema es

Etapa n = n-ésima jugada del juego (n=1,2,3)
xn = número de fichas que debe apostar en la etapa n.
Estado sn = número de fichas disponibles para comenzar la etapa n.

Se escogió esta definición del estado porque proporciona la información necesaria sobre la situación actual para poder tomar una decisión óptima sobre cuántas fichas apostar la siguiente jugada.

Como el objetivo es maximizar la probabilidad de que al joven gane la apuesta, la función objetivo que debe maximizarse en cada etapa es la probabilidad de terminar las tres jugadas con cinco fichas o más. Por esta razón.

Ejemplo 7 - Ganadora en Las Vegas (I)

Una joven emprendedora experta en estadística cree haber desarrollado un sistema para ganar un popular juego en Las Vegas. Sus colegas no piensan que este sistema sea tan bueno, por lo que le apuestan que si comienza con tres fichas, ella no tendrá cinco fichas después de tres jugadas. Cada jugada incluye apostar cualquier cantidad de las fichas disponibles y ganar o perder este mismo número de fichas. La joven cree que su sistema le dará una probabilidad de 2/3 de ganar una jugada dada.

Suponiendo que la experta en estadística está en lo correcto, se quiere determinar su política óptima respecto a cuántas fichas apostar (si apuesta) en cada una de las tres jugadas. La decisión en cada jugada deberá tomar en cuenta los resultados de las jugadas anteriores. El objetivo es maximizar la probabilidad de ganar la apuesta hecha a sus colegas.

Procedimiento de Solución Ejemplo 6 - Determinación de holguras por rechazos (III)

Los cálculos que utilizan esta relación recursiva se resumen en seguida:

Entonces, la política óptima es producir dos artículos en la primera corrida de producción; si ninguno es aceptable, se deberá producir dos o tres artículos en la segunda corrida; si ninguno es aceptable, se tendrá que producir tres o cuatro artículos en la tercera corrida. El costo total esperado si se sigue esta política es $675.

Formulacion Ejemplo 6 - Determinación de holguras por rechazos (III)

Una formulación para este problema de programación dinámica es

Ejemplo 6 - Determinación de holguras por rechazos (II)

Los costos marginales de producción se estima en $100 por unidad (incluso las defectuosas), y los artículos adicionales se desperdician. Además, se incurre en costos fijos de $300 siempre que se pone en marcha el proceso de producción para este artículo y se requiere poner en marcha el proceso para cada corrida de producción subsecuente si la inspección revela que en todo un lote no hubo un artículo aceptable. El fabricante tiene tiempo para realizar hasta tres corridas de producción. Si al final de la tercera corrida no obtiene un artículo aceptable, el costo ocasionado por la venta perdida y las multas será de $1600.

El objetivo es determinar la política que se debe seguir en cuanto al tamaño del lote en las corridas de producción que se requieran de manera que se minimice el costo total esperado para el fabricante.

Ejemplo 6 - Determinación de holguras por rechazos (I)

La HIT-AND-MISS MANUFACTURING COMPANY ha recibido un pedido para surtir un artículo de un tipo especial. El cliente ha especificado requerimientos de calidad muy rigurosos de manera que es posible que el fabricante tenga que producir más de un artículo para obtener uno aceptable. El número adicional de artículos producidos en una corrida de producción se llama la holgura por rechazo. Es una práctica común incluir una holgura por rechazos al producir sobre pedidos y parece conveniente en este caso.

El fabricante estima que cada unidad producida de este tipo tiene una probabilidad de 1/2 de ser aceptable y una probabilidad de 1/2 de ser defectuosa (sin posibilidad de correción). Entonces, elnúmero de unidades aceptables producidas en un lote de tamaño L tendrá una distribución binomial, es decir, la probabilidad de produccir cero artículos aceptables en ese lote es (1/2)^L