martes, 23 de noviembre de 2021

FORMULACIÓN DE UN MODELO MATEMÁTICO - OBTENCIÓN DE SOLUCIONES A PARTIR DEL MODELO Parte 1

 Una vez formulado el modelo matemático para el problema en estudio, la siguiente etapa de un trabajo de IO consiste en desarrollar un procedimiento, generalmente en computadora, para obtener una solución a partir de este modelo. Puede pensarse que ésta debe ser la parte principal del estudio, pero, en realidad, en la mayoría de los casos no lo es. De hecho, a veces ésta es una etapa relativamente sencilla, en la que se aplica uno de los dos algoritmos —procedimientos iterativos de solución— de investigación de operaciones en una computadora mediante el uso de algunos de los paquetes de software disponibles. Para el investigador de operaciones experimentado, encontrar la solución es la parte divertida, mientras que el verdadero trabajo se encuentra en las etapas anteriores y en las subsecuentes, incluyendo el análisis posóptimo, tema que se explicará más adelante en esta sección.

Como la mayor parte de este libro está dedicada a la obtención de soluciones para los distintos e importantes tipos de modelos matemáticos, en este momento no es necesario aclarar nada al respecto. Sin embargo, sí es necesario presentar la naturaleza de estas soluciones.

Un tema común en IO es la búsqueda de una solución óptima, es decir, la mejor. Sin duda, como aquí se presenta, han sido desarrollados muchos procedimientos para encontrarla en cierto tipo de problemas, pero es necesario reconocer que estas soluciones son óptimas sólo respecto del modelo elaborado. Además, como éste necesariamente es una idealización más que una representación exacta del problema real, no existe una garantía utópica de que sea la mejor solución que pueda implantarse.

Existen demasiados imponderables e incertidumbres asociados con los problemas reales; sin embargo, si el modelo está bien formulado y verificado, la solución debe tender a constituirse en una buena aproximación de un curso de acción ideal en la realidad. Por esto, más que estancarse en exigir lo imposible, la prueba del éxito de un estudio de IO debe ser si proporciona o no una mejor guía para la toma de decisiones que la que se puede obtener por otros medios.

El eminente científico de la administración y premio Nobel de economía, Herbert Simon, introdujo el concepto de que en la práctica es mucho más frecuente satisfizar que optimizar. Al inventar el término satisfizar como una combinación de satisfacer y optimizar, Simon describe la tendencia de los administradores a buscar una solución que sea “lo suficientemente buena” para el problema que se enfrenta. En lugar de intentar desarrollar una medida global de eficiencia para conciliar de manera óptima los conflictos entre los diferentes objetivos deseables —incluso los criterios bien establecidos para juzgar el desempeño de los distintos segmentos de la organización—, es posible utilizar un enfoque más pragmático. Las metas se pueden establecer de manera que marquen los niveles mínimos satisfactorios de eficiencia en las diferentes áreas, con base quizá en niveles de desempeño anteriores o en los logros de la competencia. Si se encuentra una solución que permita que todas estas metas sean cumplidas, es posible que sea adoptada sin más requisitos. Ésta es la naturaleza de satisfizar.

La distinción entre optimizar y “satisfizar” refleja la diferencia entre la teoría y la realidad, disparidad que con frecuencia se encuentra al tratar de implantar esa teoría en la práctica. En palabras de uno de los líderes ingleses de la investigación de operaciones, Samuel Eilon, “optimizar es la ciencia de lo absoluto; satisfizar es el arte de lo factible”.1

Los equipos de IO intentan incorporar al proceso de toma de decisiones la mayor cantidad posible de la “ciencia de lo absoluto”. Sin embargo, un equipo que trabaja con éxito debe reconocer la necesidad más importante del tomador de decisiones: obtener una guía satisfactoria para sus acciones en un periodo razonable. Por lo tanto, la meta de un estudio de investigación de operaciones debe ser la realización del proceso de manera óptima, sin importar si implica una solución óptima para el modelo. Además de buscar la ciencia de lo absoluto, el equipo debe tomar en cuenta el costo del estudio y las desventajas de retrasar su terminación, y después, intentar maximizar los beneficios netos que resulten de dicho estudio. Al reconocer este concepto, en ocasiones los equipos de investigación de operaciones utilizan sólo procedimientos heurísticos —es decir, procedimientos de diseño intuitivo que no garantizan una solución óptima— para encontrar una buena solución subóptima. Esto ocurre con más frecuencia en los casos en que el tiempo o el costo para encontrar una solución óptima para un modelo adecuado del problema son muy grandes. En años recientes se han logrado grandes progresos en el desarrollo de procedimientos metaheurísticos eficientes y eficaces; estos procedimientos proporcionan una estructura general y directrices estratégicas para diseñar un procedimiento heurístico específico que se ajuste a un tipo particular de problema. El uso del enfoque metaheurístico (capítulo 13) continúa en crecimiento.

sábado, 20 de noviembre de 2021

FORMULACIÓN DE UN MODELO MATEMÁTICO - Ejemplo

 Un estudio de IO realizado para Monsanto Corp.1 se concentró en la optimización de los procedimientos de producción en las plantas químicas de esta compañía. El objetivo era minimizar el costo por cumplir con las metas de cantidad de cierto producto químico (anhídrido maleico) que debía producirse en un mes dado. Las decisiones que era necesario tomar se relacionaban con el disco de control de cada uno de los reactores catalíticos usados para fabricar este producto; el número de control determina tanto la cantidad producida como el costo de operación del reactor. La forma del modelo matemático que resultó es la siguiente:

Formulación de un modelo matematico
Formulacion de un modelo matematico

Uno de los problemas más desafiantes que enfrentan las líneas aéreas es encontrar la forma de reorganizar las asignaciones de tripulación a los vuelos cuando ocurren retrasos o cancelaciones debido a las inclemencias del tiempo, problemas mecánicos de las naves o poca disponibilidad de personal. Un equipo de IO de Continental Airlines2 desarrolló un modelo matemático detallado para resolver este problema en las emergencias mencionadas. Debido a que la línea aérea tiene miles de tripulaciones y vuelos diarios, el modelo necesitaba ser enorme para considerar todas las combinaciones de tripulaciones y vuelos posibles. En el primer año de uso —principalmente durante 2001—, el modelo se aplicó cuatro veces para recuperar interrupciones importantes en el itinerario —dos tormentas de nieve, una inundación y los ataques terroristas del 11 de septiembre—. Su empleo produjo ahorros aproximados a 40 millones de dólares. Las aplicaciones subsecuentes se extendieron también a muchas interrupciones menores que ocurren a diario.

La oficina responsable de control del agua y los servicios públicos del gobierno de Holanda, el Rijkswaterstaat, contrató un importante estudio de IO1 para guiar el desarrollo de una nueva política de administración del vital líquido. La nueva política ahorró cientos de millones de dólares en gastos de inversión y redujo el daño agrícola en alrededor de 15 millones de dólares anuales, al mismo tiempo que disminuyó la contaminación térmica y la debida a las algas. En lugar de elaborar sólo un modelo matemático, se desarrolló un sistema integrado y comprensible de ¡50 modelos! Más aún, en el caso de algunos modelos se desarrollaron versiones sencillas y complejas. La versión sencilla se usó para adquirir una visión básica que incluyó el análisis de intercambios. La versión compleja se utilizó después, en las corridas finales del análisis o cuando se deseaba mayor exactitud o más detalle en los resultados. El estudio completo de IO involucró de manera directa a más de 125 personasaño de esfuerzo —más de un tercio de ellas en la recolección de datos—, creó varias docenas de programas de computadora y estructuró una enorme cantidad de datos.

viernes, 12 de noviembre de 2021

FORMULACIÓN DE UN MODELO MATEMÁTICO Parte 2

 Por otro lado, existen obstáculos que deben ser evitados cuando se utilizan modelos matemáticos. Un modelo es, por necesidad, una idealización abstracta del problema, por lo que casi siempre se requieren aproximaciones y supuestos de simplificación si se desea que el modelo sea manejable (susceptible de ser resuelto). Por lo tanto, debe tenerse cuidado de que el modelo sea siempre una representación válida del problema. El criterio adecuado para juzgar la validez de un modelo es si predice o no con suficiente exactitud los efectos relativos de los diferentes cursos de acción, para poder tomar una decisión que tenga sentido. No es necesario incluir detalles sin importancia o factores que tienen aproximadamente el mismo efecto sobre todas las opciones. Ni siquiera es necesario que la magnitud absoluta de la medida de eficacia sea aproximadamente correcta para las diferentes alternativas, siempre que sus valores relativos —es decir, las diferencias entre sus valores— sean bastante precisos. Entonces, todo lo que se requiere es que exista una alta correlación entre la predicción del modelo y lo que ocurre en la vida real. Para asegurar que este requisito se cumpla, es importante hacer un número considerable de pruebas del modelo y las modificaciones consecuentes, que serán el tema de la sección 2.4. Aunque en el orden del libro esta fase de pruebas se haya colocado después, gran parte del trabajo de validación del modelo se lleva a cabo en la etapa de construcción para que sirva de guía para elaborar el modelo matemático.

En la etapa de desarrollo del modelo se recomienda empezar con una versión muy sencilla y avanzar de manera evolutiva hacia paradigmas más elaborados que reflejen mejor la complejidad del problema real. Este proceso de enriquecimiento del modelo continúa sólo mientras sea manejable. La decisión básica que debe tomarse oscila entre la precisión y el manejo del modelo. (Vea en la referencia 8 una descripción detallada de este proceso.)

Un paso crucial en la formulación de un modelo de IO es la construcción de la función objetivo. Esta tarea requiere desarrollar una medida cuantitativa de la eficacia relativa para cada objetivo que el tomador de decisiones identifica cuando define el problema. Si en el estudio se contempla más de un objetivo, es necesario transformar y combinar las medidas respectivas en una medida compuesta de eficacia llamada medida global de eficacia. Esta medida compuesta puede ser algo tangible —ganancias— y corresponder a una meta más alta de la organización, o puede ser abstracta —“utilidad” —. En este caso, desarrollar una función de utilidad puede ser complejo y requerir una comparación cuidadosa de los objetivos y su importancia relativa. Una vez desarrollada la medida global de eficacia, la función objetivo expresa esta medida como una función matemática de las variables de decisión. De manera alternativa, existen métodos que contemplan al mismo tiempo y en forma explícita objetivos múltiples; en el capítulo 7 se analiza uno de ellos (programación por objetivos).


lunes, 8 de noviembre de 2021

FORMULACIÓN DE UN MODELO MATEMÁTICO Parte 1

 Una vez definido el problema del tomador de decisiones, la siguiente etapa consiste en reformularlo de manera conveniente para su análisis. La forma convencional en que la investigación de operaciones logra este objetivo es mediante la construcción de un modelo matemático que represente la esencia del problema. Antes de analizar cómo se elaboran los modelos de este tipo, se explorará su naturaleza general y, en particular, la de los modelos matemáticos.  

Los modelos, o representaciones idealizadas, son una parte integral de la vida diaria. Entre los ejemplos más comunes pueden citarse modelos de avión, retratos, globos terráqueos y otros. De igual manera, los modelos tienen un papel importante en la ciencia y los negocios, como lo hacen patente los modelos del átomo y de las estructuras genéticas, las ecuaciones matemáticas que describen las leyes físicas del movimiento o las reacciones químicas, las gráficas, los organigramas y los sistemas contables en la industria. Esos modelos son invaluables, pues extraen la esencia del material de estudio, muestran sus interrelaciones y facilitan el análisis.

Los modelos matemáticos también son representaciones idealizadas, pero están expresados en términos de símbolos y expresiones matemáticas. Las leyes de la física como F = ma y E = mc2 son ejemplos familiares. En forma parecida, el modelo matemático de un problema industrial está conformado por el sistema de ecuaciones y expresiones matemáticas relacionadas que describen la esencia del problema. De esta forma, si deben tomarse n decisiones cuantificables relacionadas entre sí, se representan como variables de decisión —x1, x2, …, xn — para las que se deben determinar los valores respectivos. En consecuencia, la medida de desempeño adecuada (por ejemplo, la ganancia) se expresa como una función matemática de estas variables de decisión —por ejemplo, P = 3x1 + 2x2 + … + 5xn —. Esta función se llama función objetivo. También se expresan en términos matemáticos todas las limitaciones que se puedan imponer sobre los valores de las variables de decisión, casi siempre en forma de ecuaciones o desigualdades —como x1 + 3x1x2 + 2x2 ≤ 10—. Con frecuencia, tales expresiones matemáticas de las limitaciones reciben el nombre de restricciones. Las constantes —los coeficientes o el lado derecho de las ecuaciones— de las restricciones y de la función objetivo se llaman parámetros del modelo. El modelo matemático puede expresarse entonces como el problema de elegir los valores de las variables de decisión de manera que se maximice la función objetivo, sujeta a las restricciones dadas. Un modelo de este tipo, y algunas de sus variantes menores, tipifican los modelos analizados en investigación de operaciones.

La determinación de los valores apropiados que deben asignarse a los parámetros del modelo —un valor por parámetro— es una tarea crítica y a la vez un reto en el proceso de construcción del modelo. Al contrario de los problemas presentados en los libros donde se proporcionan estos números, la determinación de los valores de los parámetros en los problemas reales requiere la recolección de los datos relevantes. Como se vio en la sección anterior, a menudo la recolección de datos exactos es difícil. Por lo tanto, es común que el valor asignado a un parámetro sea, por necesidad, sólo una estimación. Debido a la incertidumbre sobre el valor real del parámetro, es importante analizar la forma como cambiaría —si lo hace— la solución derivada del problema cuando el valor asignado al parámetro cambia por otros valores posibles. Este proceso, que se conoce como análisis de sensibilidad, se estudiará en la siguiente sección (y en gran parte del capítulo 6).

Aun cuando se hable de “el” modelo matemático de un problema en la industria, por lo general los problemas reales no pueden ser representados por un solo modelo “correcto”. En la sección 2.4 se describe la manera como el proceso de prueba de un modelo conduce a una serie de modelos que proporcionan representaciones cada vez mejores del problema real. Incluso, es posible desarrollar dos o más tipos de modelos diferentes para analizar el mismo problema.

A lo largo de este libro se proporcionarán numerosos ejemplos de modelos matemáticos. En los capítulos siguientes se estudia cierta clase de modelo con una importancia especial, denominado modelo de programación lineal, en el que las funciones matemáticas que aparecen tanto en la función objetivo como en las restricciones, son funciones lineales. En el capítulo 3 se construyen modelos específicos de programación lineal que se ajustan a diversos tipos de problemas, tales como determinar 1) la mezcla de productos que maximiza la ganancia; 2) el diseño de la terapia de radiación que combata de manera eficaz un tumor y que al mismo tiempo minimice el daño al tejido sano circundante; 3) la asignación de hectáreas a distintos cultivos para maximizar el rendimiento total neto, y 4) la combinación de métodos de control de contaminación que logre los estándares de calidad del aire a un costo mínimo.

Los modelos matemáticos tienen muchas ventajas sobre una descripción verbal del problema. La más obvia es que el modelo matemático describe un problema en forma mucho más concisa. Esta característica tiende a hacer más comprensible toda la estructura del problema y ayuda a revelar las relaciones importantes causaefecto. En segundo lugar, indica con mayor claridad qué datos adicionales son importantes para el análisis. También facilita el manejo del problema en su totalidad y, al mismo tiempo, el estudio de sus interrelaciones. Por último, un modelo matemático forma un puente para el empleo de técnicas matemáticas y computadoras de alto poder para analizar el problema. Sin duda, existe una amplia disponibilidad de paquetes de software para resolver muchos tipos de modelos matemáticos, en computadoras personales y de gran poder.