domingo, 31 de agosto de 2014

Estudio de caso - Reubicación de zonas escolares para lograr un balance racial (II)

Los consultores comenzaron la formulación de un modelo matemático para el problema. En este caso (al igual que en muchos problemas prácticos), el objetivo no está muy bien definido.


Por el contrario, solo se han articulado dos puntos básicos (balance racial y distancia recorrida a la escuela) y la meta es lograr un trueque razonable entre ellos. Un enfoque común en este tipo de situaciones es incluir uno de estos puntos en la función objetivo y el otro en las restricciones. De esta manera, se puede elegir entre optimizar el balance racial sujeto a las restricciones sobre distancia recorrida u optimizar la distancia recorrida en al función objetivo y como parece más razonable (a la larga) establecer estándares mínimos sobre el balance racial para las restricciones, los consultores eligieron esta última opción.

sábado, 30 de agosto de 2014

EStudio de caso - Reubicación de zonas escolares para lograr un balance racial (I)

La ciudad de MIDDLETOWN tiene tres escuelas de enseñanza media superior; en dos de ellas hay principalmente estudiantes blancos y en la otra negros. El consejo directivo des escuelas de Middletown ha decidido redistribuir las zonas escolares con el fin de reducir el aislamiento racial en estas escuelas. La nueva distribución se aplicará sólo a los estudiantes de nuevo ingreso a las escuelas de enseñanza media superior en el futuro, así que la meta es alcanzar un balance racial razonable en tres años sin aumentar demasiado las distancias que los estudiantes deban recorrer.

La superintendente del distrito escolar ha leído algunos artículos sobre cómo la investigación de operaciones ha sido de gran ayuda en la planeación inteligente de las zonas que son eficientes. Por recomendación suya, el consejo directivo decidió contratar a un equipo de consultores en investigación de operaciones para que realicen el estudio y presenten sus recomendaciones.

Los consultores comenzaron por definir y reunir los datos pertinentes. Para esto, dividieron geográficamente la ciudad en 10 secciones. Como la población actual de estudiantes en las escuelas secundarias representa la población potencial de enseñanza media superior para los próximos tres años, se avocaron a determinar el número actual de estudiantes blancos y negros en secundaria para cada sección. La distancia que los estudiantes deben recorrer para llegar a la escuela es un dato especial, por lo que determinaron la distancia (en millas) del centro de cada sección a cada escuela. En la tabla 8.7 aparece toda esta información junto con el número máximo de estudiantes que se pueden asignar a cada escuela.

viernes, 29 de agosto de 2014

Formulacion (II)

El conjunto de restricciones para la formulación de programación lineal se pueda construir si se utilizan simplemente las restricciones del problema no lineal anterior (después de sustituir I+t - I-t por It para t = 1,2,.......12) y después incorporando la definición de las otras variables auxiliares no negativas al modelo mediante la, introducción de restricciones de igualdad adicionales. En consecuencia, el modelo completo de programación lineal es

jueves, 28 de agosto de 2014

Formulacion (I)

Igual que en el ejemplo anterior, la clave para llegar a una formulación lineal del problema es la definición apropiada de las variables de decisión. En este caso, encontrar la definición correcta incluye la combinación de dos técnicas de formulación que se presentaron en la sección 8.1. Primero se introducen variables auxiliares (xt y yt) para representar las cantidades (Wt - Wt-1) y (10Pt - Wt), de forma que



miércoles, 27 de agosto de 2014

Programación de la producción y del nivel de empleo (III)

Nótese que cada una de las funciones de costo de la tabla 8.6 (excepto la nómina) es una función no lineal de la cantidad correspondiente ya que la función tiene la forma que se ilustra en la figura 8.1 (pero con pendiente cero en un lado del origen). Entonces, si Z representa el costo total en los 12 meses, la formuación "natural" del modelo da como resultado el problema de programación no lineal.

en donde se conoce el nivel de inventario inicial Io y el nivel de la fuerza de trabajo inicial Wo. Ahora se verá cómo el departamento de investigación de operaciones reformuló este problema para ajustarlo al formato de programación lineal.

martes, 26 de agosto de 2014

Programación de la producción y del nivel de empleo (II)

La división de mercadotecnia proporciona cada mes los pronósticos actualizados del volumen de venta proyectado. Las decisiones que habrá que tomar se refieren al nivel de empleados total y a la tasa de producción que debe programarse para cada uno de los 12 proximos meses. Estas decisiones, a su, vez determinan el nivel de inventario (cantidad almacenada menos faltantes) para esos meses. Las cantidades se denotan como sigue par ael mes t (t=1,2,.......,12).



lunes, 25 de agosto de 2014

Programación de la producción y del nivel de empleo (I)

La BOOMBUST COMPANY se enfrenta a un mercado de ventas inestable, por lo que con frecuencia tiene que hacer algunos ajustes para compensar los cambios pronosticados en el nivel de ventas. Cuando las ventas van en aumento, estos ajustes toman la forma de incremento en la fuerza de trabajo (contratación), horas extras de los empleados actuales o consumo de los inventarios existentes (o futuros). De igual manera, cuando las ventas caen, la compañia disminuye su fuerza de trabajo (despido) subutiliza la mano de obra actual o hace crecer sus inventarios. Todas estas alternativas son de alguna manera costosas, en especial cuando se usan en sus extremos. Con frecuencia, la compañia emplea alguna combinación de estos ajustes, pero es muy difícil determinar cuál de estas combinaciones es la menos costosa, en particular cuando se planea una serie de ajustes para cumplir con una serie de cambios pronosticados para las ventas.

Por todo esto, la gerencia pidió al departamento de investigación de operaciones que estudiara este problema y desarrollara un procedimiento sistemático para la programacion de la producción y el nivel de empleo que minimice el costo total en que se incurre para cumplir con las metas proyectadas. El procedimiento debe proporcionar la programacion mensual de los próximos 12 meses, con el propósito de planear actividades, pero después debe volverse  a aplicar cada mes para actualiza la programación con base en pronósticos más actuales.

domingo, 24 de agosto de 2014

Formulacion Reciclado de desechos sólidos (IV)


Esta formulación completa el modelo, excepto que las restricciones correspondientes a las especificaciones de mezcla se tienen que volver a escribir en la forma apropiada para lo modelos de programación linea, cambiando todas las variables al lado izquierdo y combinado términos; después de hacet esto se tiene:

2. Especificaciones de mezcla.

sábado, 23 de agosto de 2014

viernes, 22 de agosto de 2014

Formulación Reciclado de desechos sólidos (II)

Sin embargo, la tabla 8.5 da los costos del tratamiento y la disponibilidad de los materiales por cantidad (libras) y no en proporciones y es esta información en cantidad la que se necesita captar en la función objetivo en algunas de las restricciones. Para el material j (j=1,2,3,4),

Cantidad de material j usado = ZAjyA + + ZBjYB + ZCjYC

Pero ésta no es una función líneal, ya que incluye multiplicación de variables, y no se puede construir un modelo de programación lineal con estas variables de decisión.

Por fortuna, existe otra manera de definirlas que se ajustará al formato de programación lineal (tiene el lector una idea de cómo hacerlo?) Esto se logra simplemente sustituyendo cada producto de las variables de decisión anteriores por una sola variable. En otras palabras, definase.

xij = zijyi (para i = A,B,C; j = 1,2,3,4)
= número total de libras de material j que se asigna al producto i a la semana.

y después defínase las xij como las variables de decisión. La cantidad total de producto de grado i que se produce cada semana es xi1 + xi2 + xi3 +xi4. La proporción del material j en el producto de grado i es xij/(xi1 + xi2 + xi3 +xi4). Por tanto, esta elección de variables de decisión capta toda la información necesaria y es adecuada para la construcción del siguiente modelo de programación lineal.

jueves, 21 de agosto de 2014

Formulacion Reciclado de desechos sólidos (I)

Antes de intentar construir un modelo de programación lineal ha de ponerse extremo cuidado en la definición apropiada de las variables de decisión. Si bien muchas veces esta definición es obvia, ocurre que es la parte medular de toda la formulación. Después de identificar con claridad cuál es la información que sirve y al forma de manejo más conveniente mediante las variables de decisión, se pueden establecer la función objetivo y las restricciones sobre los valores de estas variables de decisión.

En este problema específico, las decisiones que deben tomarse están bien definidas, pero vale la pena pensar un poco en la manera de manejar la información a través de ellas. (Se recomienda al lector que lo intente y vea si primero obtiene el siguiente conjunto inapropiado de variables de decisión)

Como un conjunto de decisiones se refiere a la cantidad de cada grado de producto que se debe fabricar, parecería natural definir un conjunto de variables de decisión acorde. Siguiendo esta línea de pensamiento, definase.

yi = número de libras del producto de grado i producidas a la semana (i=A,B,C)

La mezcla de cada grado se identifica por la proporción de cada material en el producto. ESta identificación sugiere definir el otro conjunto de variables de decisión como.

zij = proporción del material j en el producto de grado i (i=A, B, C; j = 1,2,3,4).

miércoles, 20 de agosto de 2014

Formulacion Reciclado de desechos sólidos

La SAVE-IT COMPANY opera un centro de reciclado que recoge cuatro tipos de material de desecho sólido y los trata para amalgamarlos en un producto comercializable. Se pueden hacer tras grados diferentes de este producto, según la mezcla de materiales que se use. Aunque existe alguna flexibilidad para esta mezcla de cada grado, los estándares de calidad especifican un procentaje mínimo y no máximo (en peso) de ciertos materiales permitidos en ese grado. En la tabla 8.4 se dan estas especificaciones junto con el costo del proceso de amalgamado y el precio de venta para cada grado.
En centro de reciclado recoge los materiales de desecho sólido de ciertas fuentes habituales por lo que casi siempre puede mantener una tasa de producción estable para tratar estos materiales. En la tabla 8.5 se dan las cantidades disponibles para la recolección y tratamiento semanal, al igual que el costo del proceso para cada tipo de material.
El problema al que se enfrenta la compañía es determinar cuándo debe producir de cada grado y la mezcla exacta que debe usar para cada uno, de manera que se maximice la ganancias semanal total (ingresos totales por ventas menos los costos totales tanto del tratamiento como del Amalgamado).

martes, 19 de agosto de 2014

Algunos Ejemplos de formulación

Ahora se presentarán dos ejemplos que ilustran la manera de formular algunos problemas que representan un reto y que con frecuencia surgen en la práctica de la programación lineal.

lunes, 18 de agosto de 2014

Formulación

Las variables de decisión x1 y x2, representan el número de proyectos que se han de poner en marcha en los países 1 y 2, respectivamente. En este caso existen dos objetivos, aumentar la producción de alimentos  en el país 1 y aumentar la producción de alimentos en el país 2. Sus funciones objetivo son:


domingo, 17 de agosto de 2014

Ejemplo Prototipo (II)

Como la necesidad de ambos paises es muy grande, la Food and Agriculture ha decidido aumentar lo más que se pueda la producción de alimentos en ambos; así, el objetivo global se establece como maximizar el mínimo aumento en la producción de alimentos en los dos países.

sábado, 16 de agosto de 2014

Ejemplo Prototipo (I)

La organización internacional de ayuda FOOD AND AGRICULTURE piensa mandar expertos en agricultura a dos países subdesarrollados, cuya necesidad más apremiante es aumentar su producción de alimentos mediante el mejoramiento sus técnicas agrícolas. Los expertos desarrollarán proyectos piloto y programas de capacitación para mostrar y enseñar estas técnicas. El número de proyectos que se pueden emprenderse está restringido por la limitada disponibilidad de tres recursos necesarios: equipo, expertos y dinero. La pregunta es cuántos proyectos se deberán emprender en cada país a fin de aprovechar los recurso de la mejor manera posible.

Se estima que cada proyecto completo que se ponga en marcha en el pais 1 aumentará, a fin de cuentas, la produccion de alimentos  los suficiente como para que coman 2000 personas más. La estimación correspondiente difieren en la mezcla de recurso que necesitan. En la tabla 8.3 se resumen los datos. Es factible considerar niveles parciales o completos de los proyectos. Se supone que las fracciones de proyectos afectan a los datos d ela tabla 8.3 en forma proporcional.

viernes, 15 de agosto de 2014

Maximización del progreso mínimo hacia todos los objetivos (III)

ASí, el modelo equivalente de programación lineal es:

En caso de que las Zk no estén medidas en unidades comunes, deberán multiplicarse por las constates apropiadas para convertirlas en unidades de medida comunes.

Cuando los objetivos se están minimizando en lugar de mazimizando, la función objetivo global del modelo original cambia a:


jueves, 14 de agosto de 2014

Maximización del progreso mínimo hacia todos los objetivos (II)

Se desea aumentar todos los valores de estas funcioens objetivo individuales. Entonces, la función objetivo global para el modelo será:

Maximizar Z = mínimo {Z1, Z2, .............Zk}

de manera que una solucióon óptima para (x1, x2, ........, xn) será aquellá que haga tan grande  como sea posible el valor más pequeño de Zk (k = 1,2,..........,K).

Sin duda, este objetivo global no se ajusta al formato de programación lineal. Se verá ahora cómo se puede reformular el problema.

Primero se introduce una variable auxiliar z que represente el valor mínimo entre los K objetivos,

z = mínimo {Z1, Z2, .............Zk}

Introducir esta variable artificial permite escribir la función objetivo global como

Maximizar Z = z,

que es una función objetivo que se acepta en programación líneal (una variable con un coeficiente de +1 y cero para el resto de los coeficientes)

Ahora falta incorporar la definición de z al modelo. Esa definición implica que


miércoles, 13 de agosto de 2014

Maximización del progreso mínimo hacia todos los objetivos (I)

La programación por objetivos es una herramienta útil al tratar problemas en los que se deben tomar en cuenta varios objetivos a la vez. Sin embargo, requiere que se establezca metas para cada uno de esos objetivos y no siempre es posible hacer esto de una manera significativa. En particular, algunas metas son abiertas y lo que se intenta es lograr el mayor progreso posible hacia ellas. Dicho de otra manera, para las metas abiertas no existe un estándar mínimo de modo que resulte casi indiferente lograr progresos más allá de ese estándar. (Por ejemplo, muchos administradores piensan que el objetivo de maximizar las ganancias es de este tipo.) Con las metas abiertas también es posible querer alcanzarlas todas en forma simultánea. En este caso, puede ser apropiado maximizar el progreso mínimo hacia todos los objetivos.

Para construir un modelo con este enfoque, supóngase que se tienen K objetivos,

martes, 12 de agosto de 2014

Procedimiento simplificado

Si se aplica el procedimiento simplificado en lugar del secuencial, se maneja sólo un modelo de programación lineal que incluye todas las metas.



Puesto que este modelo utiliza M para simbolizar un número positivo muy grande, debe aplicarse el método símplex que se describió y ejemplificó en la sección 4-6. Por supuesto, esta aplicación conduce a la misma solución obtenida con el procedimiento secuencial.


lunes, 11 de agosto de 2014

Procedimiento Secuencial (II)

Si se eliminan y2+ y y3+ pero se agregan las metas de segunda prioridad, el modelo de programación lineal de la segunda etapa sera

Como esta solución es única (y como no hay más niveles de prioridad), el procedimiento se detiene con [(x1, x2, x3) = (5,0, 3(3/4)] como solución óptima del problema completo. Esta solución logra totalmente los dos objetivos de primera prioridad, al igual que uno de los de segunda prioridad (no disminuir el nivel de empleo) y se queda corto en 8(3/4) en la otra meta de segunda prioridad (utilidades a largo plazo ≥ 125)

domingo, 10 de agosto de 2014

Procedimiento Secuencial (I)

En la primera etapa del procedimiento secuencial se incluyen sólo las metas de primera prioridad en el modelo de programación lineal. Entonces, se puede eliminar el factor M. los pasos ponderados que se muestran en la tabla 8.2 Siguiendo igual que en el modelo sin prioridades, si estos fueran los únicos objetivos, el modelo de programación lineal que resulta es


sábado, 9 de agosto de 2014

Ejemplo de programación por objetivos con prioridades

Al enfrentarse a la desagradable recomendación de aumentar la fuerza de trabajo de la empresa en más de un 20%, la gerencia de la DEWRIGHT COMPANY está estudiando de nuevo la formulación original del problema que se resumió en la tabla 8.1. Este aumento en la fuerza de trabajo tal vez sea temporal, de forma que se desperdiciaria la mayor parte del alto costo de  capacitar 833 empleados nuevos y los numerosos despidos (que sin duda serán del conocimiento  público) harán más difícil atraer empleados de alta calidad en el futuro. En consecuencia, la gerencia a concluido que debe darse una alta prioridad al hecho de evitar un aumento en la mano de obra. Aún más, se ha averiguado que será muy difícil poder reunir más de $55 000 000 para la inversión de capital para los nuevos productos, así que evitar una inversión de capital adicional también debe tener una alta prioridad.


Con base en estas consideraciones, la gerencia ha concluido que debe emplearse un enfoque de programacion por objetivos con prioridades, en donde las dos metas anteriores deben ser de primera prioridad y las otras dos metas originales (utilidades a largo plazo mayores que $ 125 000 000 y evitar que el nivel de la mano de obra disminuya) deben ser las de segunda prioridad. Las penalizaciones ponderadas relativas dadas en la ultima columna de la tabla 8.1 deben permanecer igual dentro de los dos niveles de prioridad. Esta reformulación se resume en la tabla 8.2 (Las partes de la tabla 8.1 que no se inclueyeron aquí quedan sin cambio).


viernes, 8 de agosto de 2014

Programación por objetivos con prioridades (II)

También es posible duplicar el trabajo de la segunda etapa del procedimiento secuencial con sólo una corrida del método símplex, si se hace antes una pequeña modificación en el algoritmo. Este procedimiento se llamará aquí procedimiento simplificado.

Si únicamente se tienen dos niveles de prioridad, se trata de una modificación que ya se conoce, a saber, el método de la M que se presentó en la sección 4.6. En este caso, en lugar de dar a M un valor positivo muy grande antes de corre el método símplex, se conserva  la cantidad símbolica  M en las tablas del símplex. Cada coeficiente del renglón 0 (en cada iteración) es una función lineal, aM +b en donde a es el factor multiplicativo actual y b es el factor aditivo actual. Las decisiones normales que se basan en estos coeficientes (variable básica entrante y prueba de optimalidad), ahora se basan nada más en los factores multiplicativos, excepto que los empates se rompen usando los factores aditivos.

La formulación de programación líneal del problema que se está analizando (con dos niveles de prioridad) incluirá todas las metas del modelo de manera normal, pero asginará  penalizaciones ponderadas básicas de M y 1 a las desviaciones de las metas de primera y segunda  prioridad, respectivamente. Si se quiere incluir pesos distintos dentro del mismo nivel de prioridad, se multiplican estas ponderaciones básicas por los pesos individuales que se desean.

Cuando existen más de dos niveles de prioridad (digamos p de ellos), el procedimiento simplificado se puede generalizar de una manera sencilla. Las penalizaciones ponderadas básicas  para los respectivos niveles se definen como M1, M2,........Mp-1, 1, en donde M1 presenta un número bastante más grande que M2, M2 es bastante más grande que M3,...... y Mp-1 es bastante más grande que 1. Ahora, cada coeficiente del renglón 0 de cada tabla símplex es una función lineal de todas estas cantidades, en donde el factor multiplicativo de M1 se usa para tomar las decisiones necesarias y lo empates se rompen comenzando con el factor multiplicativo de M2 y terminando con el factor aditivo.

Se ilustrararán ahora tanto el procedimiento secuencial, como el simplificado, mediante una modificación del problema de la Dewright Company.

jueves, 7 de agosto de 2014

Programación por objetivos con prioridades (I)

El ejemplo anterior supone que en esencia todas las metas tienen una importancia comparable. Ahora considérese el caso de la programación por objetivos con prioridades, en donde existen niveles jerárquicos para esas metas. Un caso de este tipo surge cuando uno o más objetivos son evidentemente más importantes que los demás. Entonces, el esfuerzo inicial debe dirigirse a acercarse lo más que se pueda a estas metas de primera prioridad. Por supuesto, las otras metas también puede dividirse en metas de segunda prioridad. Por supuestos, las otras metas también pueden dividirse en metas de segunda prioridad, se puede romper cualquier empate que se tenga para la solución óptima al tomar en cuenta las metas de segunda prioridad.

Los empates que queden después de estas reoptimización se pueden romper al considera las metas de tercera prioridad y asi sucesivamente.
Cuando se trabaja con metas del mismo nivel de prioridad, el enfoque es idéntico al que se acaba de presentar para la programación por objetivos sin prioridades. Puede surgir en este caso cualquiera de los tres tipos de metas (unilateral inferior, bilateral o unilateral superior). También pueden incluirse, si se desea, distintas penalizaciones ponderadas para las desviaciones de las metas. Se emplea la técnica de formulación de la sección. 8.1 para reformular esta parte del problema con el fin de que se ajuste al formato de programación linea.

Una manera de resolver el problema completo consiste en resolver una sucesión de problemas de programación lineal. Este método se llamará procedimiento secuencial.

En la primera etapa, las únicas mentas que se incluyen en el modelo de programación lineal son las metas de primera prioridad y se aplica el méetodo símplex en la forma usual. Si la solución óptima que resulta única, se adopta de inmediato sin tomar en cuenta las otras metas.

Si existe soluciones óptimas múltiples con el mismo valor óptimo de Z (llámese Z*). se pasa a la segunda etapa y se agrega las metas de segunda prioridad al modelo. Si Z* = 0, pueden eliminar por completo del modelo las variables auxiliares que representan las desviaciones de las metas de primera prioridad; las restricciones de igualdad que contienen estas variables se sustituyen por las expresiones matemáticas (igualdades o desigualdades) de estas metas, para asegurar que siguen alcanzando. Por otro lado, si Z* > 0, el modelo de la segunda etapa sólo agrega las metas de segunda prioridad al modelo de la primera etapa (como si estas metas adicionales fueran de hecho de primera prioridad), pero después agrega también la restricción de que la función objetivo d ela primera etapa debe ser igual a Z* (lo que permite eliminar de la función objetivo de la segunda etapa los términos sobre las metas de la primera prioridad). En este momento se aplica de nuevo el método símplex y se repite el mismo proceso para las metas de prioridad más baja.

miércoles, 6 de agosto de 2014

Formulación DEWRIGHT COMPANY (II)

Como no existe penalización para la meta de utilidades cuando excede a 125,o por quedar abajo de 55 en la meta de inversión no deben aparecer ni yi+ ni y3- en la función objetivo que representa la penalización total por las desviaciones de cada meta;  pero es posible ( y aun deseable) tener y1+ > 0 y y3- >0 por lo que ambas  variables deben aparecer (junto con y1-, y2+, y2- y y3+) en las restricciones de igualdad que definen la relación entre estas tres variables  auxiliares y las tres variables de decisión original (x1, x2, x3). Si se utilizan las ponderaciones que se muestran  en la tabla 8.1 se llega a la siguiente  formulación de programación lineal para este problema de programación por objetivos.



martes, 5 de agosto de 2014

Formulación DEWRIGHT COMPANY (II)

Así, en el primer caso, la contribución al segundo y tercer términos de Z es 2(10) + 4(0) =20 y en el segundo caso es 2(0) + 4(5) = 20 también. como la administración considera que sobrepasar la meta del nivel de empleados tiene la mitad de importancia por unidad que dejarlo abajo (penalización de 2 comparado con 4), sobrepasarla en 10 causa la misma penalización total que quedarse abajo en 5 unidades.

Desafortunadamente Z no es una función líneal pues cada uno de los cuatro términos tiene la forma no lineal que se ilustró en la figura 8.1 (con pendiente cero de un lado del origen), en donde el valor de la abcisa está dado por la función líneal dentro del paréntesis. Por tanto, no puede aplicarse el método símplex para resolver el modelo. De todas maneras, se podrá aplicar después de reformular el modelo para que se ajuste al formato de programació lineal. La reformulación requiere la aplicación de la técnica que se presentó en la sección anterior.

El primer paso es introducir las nuevas variables auxiliares:


lunes, 4 de agosto de 2014

Formulación DEWRIGHT COMPANY (I)

El problema de la Dewright Company incluye los tres tipos posibles de metas: una meta unilateral inferior (las utilidades a largo plazo), una meta bilateral (el nivel de empleados ) y una meta unilateral superior (la inversión de capital). Si las variables de decisión x1, x3, x3 representan las tasas de producción de los productos 1,2 y 3, respectivamente, esta metas se pueden establecer como


domingo, 3 de agosto de 2014

Ejemplo prototipo para programación por objetivos sin prioridades

La DEWRIGHT COMPANY está estudiando la posibilidad de reemplazar tres productos actuales que deben descontinuarse con modelos nuevos, por lo que asignó al departamento de investigación de operacioens la tarea de determinar la mezcla de estos productso que debe fabricarse. La gerencia queire que se dé una importancia primaria a tres factores: utilidades a largo plazo, estabilidad en la fuerza de trabajo y la inversión de capital que será necesaria para el equipo nuevo. En particular, se han establecido las metas de 1) lograr una utilidad a largo plazo de por lo menos $125 000 000 (en valor presente neto) por concepto de estos productos; 2) conservar el nivel actual de 4000 empleados, y 3) mantener la inversión de capitar en menos de $ 55 000 000. Ahora bien, se dieron cuenta de que es probable que no se peudan lograr estos tres objetivos simultaneamente, de forma que discutiremos sus prioridades con el departamento de investigación de operaciones. ESta discusión los llevó a establecer penalizaciones ponderadas de cinco por no cumplir con la meta de las utilidades (por cada millón de dólares abajo de ella), dos por sobrepasar la meta de empleo (por cada 100 empleados), cuatro por quedar abajo de esta misma meta  y tres por exceder la inversión de capital (por cada millón de dólares de excedente). Cada uno de lso nuevos productos tiene una contribución que se establece. En la tabla 8.1 se meustran estas contribuciones por unidad de tasa de producción junto con las metas y las penalizaciones.

sábado, 2 de agosto de 2014

Programación por objetivos

A través de los capítulos anteriores se ha supuestos que los objetivos de la organización que lleva a cabo un estudio de programación lineal se pueden integrar en un solo objetivo global, como el de maximizar la utilidad total o minimizar el costo total. Sin embargo, esta suposición no siempre es realista. De hecho, como ya se dijo en la sección 2.1, los estudios han encontrado que la administración de las coporaciones estadounidenses con frecuencia  debe cumplir varios objetivos distintos, por ejemplo, mantener utilidades estables, incrementar (o conservar) el porcentaje de mercado, diversificar los productos, mantener precios de venta estables, mejorar la moral de los trabajadores, mantener el control familiar del negocio y aumentar el prestigio de la compañia. La programación por objetivos proporciona la posibilidad de alcanzar varios objetivos al mismo tiempo.

La idea básica  de la programación por objetivos es establecer una meta numérica específica para cada uno de los objetivos, formular  una función objetivo para cada uno de ellos y después buscar una solución que minimice la suma (ponderada) de las desviaciones de estas funciones objetivo de sus metas respectivas.

Existen dos casos que deben considerarse. Uno, llamado programación por objetivos sin prioridaes, es en el qeu todas las metas tienen básicamente la misma importancia. El otro se conoce como programación por objetivos con importancia primaria reciben atención prioritaria, los objetivos secundarios reciben atención de segunda prioridad y así sucesivamente (si existen más de dos niveles de prioridad).

Se comenzará con un ejemplo que ilustra las caracteristicas básicas de la programación por objetivos sin prioridades y después se estudiará el caso con prioridades.

viernes, 1 de agosto de 2014

Cómo se incorpora al modelo esta función lineal xj-1 + Pj - Sj?

Si se usa la notación de superíndices + y  - que se introdujo al principio de la sección, (xj-1 + Pj - Sj)+ y (xj-1 +Pj - Sj)- representan las respectivas componentes positiva y negativa de esta función Dicho de otra manera.

Si se define cj+ y cj- como se hizo antes (con la misma restricción sobre sus valores), la contribución a al función objetivo del costo de inventario en el período j de nuevo es

Zj = cj+xj+ + cj-xj-

No obstante, ahora la diferencia crucial es que como las variables xj = xj+ - xj- no son variables de decisión incluidas en el modelo original, la definición de xj+ y xj- deben incorporarse directamente al modelo de programación lineal. No es suficiente con sólo registrar estas definiciones, como se acaba de hacer porque el método símplex toma en cuenta sólo la función objetivo y las restricciones que constituyen el modelo. Como

xj = xj-1 + Pj -Sj y xj = xj+ - xj-  para cada j,

se pueden incorporar al modelo agregando las restricciones de igualdad

xj + - xj- = xj-1+ - xj-1- +Pj - Sj para cada j

(las variables en el lado derecho de estas restricciones deben moverse al lado izquierdo para obtener la forma apropiada.). Estas restricciones adicionales aseguran que xj+ y xj- tomarán los valores apropiados, dados los valores que el método símplex asigna a las variables de decisión.

Esta técnica de introducir variables artificiales  y después usar las restricciones de igualdad para definirlas en el modelo se usa con mucha frecuencia.

En la sección 8.4 se verá una aplicación particular de esta técnica de formulación en el contexto de un modelo completo.

Quizá su aplicación más importante sea en la programación por objetivos, que se describe en la sección 8.2.