5 ejercicios clásicos de programación lineal y sus resultados

 A continuación se presentan cinco ejercicios clásicos de programación lineal y sus resultados:

    Maximización de la ganancia en una empresa:

Un fabricante quiere maximizar su ganancia produciendo dos tipos de productos, A y B. Para producir una unidad del producto A, se necesitan 2 horas de trabajo y se obtiene una ganancia de $3. Para producir una unidad del producto B, se necesitan 3 horas de trabajo y se obtiene una ganancia de $2. La empresa solo tiene 400 horas disponibles para producir. ¿Cuántas unidades de cada producto deben producirse para maximizar la ganancia?

Solución:

La función a maximizar es: 3x + 2y, donde x es el número de unidades del producto A y y el número de unidades del producto B.

Los límites son: 2x + 3y ≤ 400 (por las horas disponibles) y x, y ≥ 0 (porque no se pueden producir unidades negativas).

El problema se puede resolver mediante el método gráfico, obteniendo los siguientes resultados:

x = 100 unidades

y = 133.3 unidades

La ganancia máxima es de $533.

    Problema de asignación: dado un conjunto de tareas y un conjunto de trabajadores, asignar cada tarea a un trabajador de tal manera que se minimice el costo total.

Ejemplo:

Tareas: T1, T2, T3, T4

Trabajadores: W1, W2, W3

Costos:

| T1 | T2 | T3 | T4 |

W1| 2 | 6 | 7 | 5 |

W2| 3 | 4 | 8 | 6 |

W3| 5 | 7 | 3 | 2 |

Solución: asignar T1 a W1, T2 a W2, T3 a W3 y T4 a W1. El costo total sería 17

    Problema del viajero de comercio: dado un conjunto de ciudades y las distancias entre ellas, encontrar el camino más corto para visitar todas las ciudades y regresar a la ciudad de origen.

Ejemplo:

Ciudades: C1, C2, C3, C4

Distancias (en millas):

| C1 | C2 | C3 | C4 |

C1| 0 | 2 | 5 | 7 |

C2| 2 | 0 | 4 | 1 |

C3| 5 | 4 | 0 | 6 |

C4| 7 | 1 | 6 | 0 |

Solución: visitar las ciudades en el siguiente orden: C1, C2, C4, C3, C1. La distancia total sería 14 millas.

    Problema de transporte: dado un conjunto de fábricas y un conjunto de tiendas, determinar la cantidad de productos que deben ser enviados de cada fábrica a cada tienda para satisfacer la demanda de productos de cada tienda y minimizar el costo total.

Ejemplo:

Fábricas: F1, F2

Tiendas: T1, T2, T3

Demanda de productos:

| T1 | T2 | T3 |

F1| 2 | 3 | 1 |

F2| 1 | 2 | 3 |

Costos (por unidad):

| T1 | T2 | T3 |

F1| 3 | 4 | 5 |

F2| 4 | 3 | 6 |

Solución: enviar 2 unidades de F1 a T1, 3 unidades de F1 a T2, 1 unidad de F1 a T3, 1 unidad de F2 a T1 y 2 unidades de F2 a T2. El costo total sería 27.

Asignación de trabajos a trabajadores:

Una empresa quiere asignar trabajos a sus trabajadores de manera que maximice su productividad. Cada trabajador tiene una habilidad diferente para realizar cada tipo de trabajo, y se sabe cuánto tiempo se tarda en realizar cada trabajo. ¿Cuántos trabajos de cada tipo deben asignarse a cada trabajador para maximizar la productividad?

Solución:

La función a maximizar es: 2x + 3y + 4z, donde x, y y z representan el número de trabajos de cada tipo que se asignan a cada trabajador.

Los límites son: x + y + z ≤ 10 (por el número total de trabajos disponibles) y x, y, z ≥ 0 (porque no se pueden asignar trabajos negativos).

El problema se puede resolver mediante el método gráfico, obteniendo los siguientes resultados:

x = 2 trabajos

y = 4 trabajos

z = 4 trabajos

La productividad máxima es de 26