Otras aplicaciones (I)

Se han presentado ya otras dos aplicaciones importantes de la teoría de dualidad al analísis de sensibilidad, a saber, los precios sombra y el método dual símplex. Como se describió en las secciones 4.7 y 6.2, la solución óptima dual (y1*, y2*,......ym*) proporciona los precios sombra para los recursos respectivos que indican cuánto puede cambiar Z si se hicieran cambios (pequeños) en las bi (la cantidad de recursos). El análisis que resulta se ilustrará con algún detalle en la sección 6.7.

En términos más generales, la interpretación económica del problema dual y del método símplex que se presentó en la sección 6.2 proporciona algunas ideas útiles para el análisis de sensibilidad.

Introducción de una nueva variable (III)

Para responder esta pregunta se verifica la solución básica complementaria para el problema dual, que la tabla 6.9 se identifica como

(y1, y2, y3,z1-c1, z2-c2) = (0, 3/2, 1, 0, 0)

Puesto que esta solución era óptima para el problema dual original, sin duda satisface las restricciones duales originales que se muestran en la tabla 6.1. Pero, satisface la nueva restricción dua,

2y1 + 3y2 +y3 ≥ 4?

Al sustituir esta solución.

2(0) + 3(3/2) + (1) ≥ 4

se satisface, por lo que esta solución dual sigue siendo factible (es decir, óptima). En consecuencia, la solución primal original (2,6,2,0,0) junto con xnueva = 0 todavía es óptima y se concluye que no debe incluirse este nuevo producto en la producción.
Este enfoque hace que también sea muy sencillo llevar a cabo un análisis de sensibilidad sobre los coeficientes de la nueva variable que se agregó al problema original. Con sólo verificar la nueva restricción dual se puede saber de inmediato cuánto se pueden cambiar los valores de estos parámetros antes de que afecten la factibilidad de la solución dual, y por tanto, la optimalidad de la solución primal.

Introducción de una nueva variable (II)

Para ver un ejemplo, supóngase que en el problema de la Wyndor Glass Co. de la sección 3.1 se planea incluir en la línea de producción un tercer producto nuevo. Si xnueva representa la tasa de producción de este artículo, el modelo revisado que resulta es:

Después de introducir las variables de holgura, la solución óptima original par este problema sin xnueva era (x1, x2,x3,x4, x5) = (2,6,2,0,0), Si se incluye xnueva = 0 es todavia óptima la solución?

Introducción de una nueva variable (I)

Como se indico en la tabla 6.6, las variables de decisión del modelo suelen representar el nivel de la distintas actividades bajo consideración. En algunas situaciones, estas actividades se seleccionan entre un grupo grande de actividades posibles en el que las actividades restantes no se eligieron por parecer menos atractivos. O quizá estas otras actividades no salieron a relucir hasta después de formular y resolver el modelo original. De cualquier manera, la pregunta en este caso es si alguna de estas actividades no consideradas antes valen la pena como para justificar su inclusión. En otras palabras, cambiará la solución óptima original si se agrega cualquiera de estas actividades?

Agregar otra actividad equivale a introducir en el modelo una nueva variable, con los coeficientes apropiados en las restricciones funcionales y en la función objetivo. El único cambio que resulta en el problema dual es la introducción de una nueva restricción.

Una vez hechos estos cambios, será la solución óptima original, junto con la nueva variable igual a cero (no básica), todavía óptima para el problema primal? Igual que en el caso anterior, una pregunta equivalente es si todavía es factible la solución básica complementaria para el problema dual, e igual que antes, esta pregunta se puede contestar con sólo verificar si esta solución básica complementaria satisface una restricción, que en este caso es la nueva restricción para el problema dual.

Cambios en los coeficientes de una variable no básica

Supóngase que los cambios que se hacen en el modelo original ocurren en los coeficientes de una variable que era no básica en la solución óptima original. Cuál es el efecto de estos cambios sobre esta solución? Es todavía factible? Es todavía óptima?

En vista de que la variable en cuestión es no básica (vale cero), el cambio en sus coeficientes no puede afectar la factibilidad de la solución, por lo cual, la pregunta que queda abierta en este caso es si todavía es óptima. Como se indica en las tablas 6.10 y 6.11, una pregunta equivalente es si la solución básica complementaria para el problema dual todavía es factible después de hacer estos cambios. Como estos cambios afectan al problema dual nada más en una restricción, la pregunta se puede responder al verificar si esta solución básica complementaria satisface esta restricción revisada.

Se ilustrará este caso es la subsección correspondiente de la sección 6.7 después de desarrollar el ejemplo adecuado.

Papel de la teoría de dualidad en el análisis de sensibilidad

Como se describirá en las siguientes dos secciones, el análisis de sensibilidad consiste principalmente en la investigación del efecto que tiene sobre la solución óptima, el hecho de hacer cambios en los variables de los parámetros del modelo (aij, bi y cj). Sin embargo, los cambios de parámetros en el problema primal hacen que también cambien los valores correspondientes en el problema dual. Por tanto, se puede elegir qué problema se va a usar para investigar los cambios. GRacias a las relaciones primal-dual presentadas en las secciones 6.1 y 6.3 (en especial la propiedad de soluciones básicas complementarias), es fácil ir de un problema a otro según se quiera. En algunos casos es más conveniente analizar el problema dual directamente con objeto de determinar el efecto complementario sobre el problema primal. Se comenzará por considerar los casos.

Adaptación a otras formas del primal (VII)

El coeficiente de xj^-, a saber (zj^-cj) se debe ignorar. Salvo en estos casos, los coeficientes del renglón 0 se usan como antes (véase la sección 6.3) para obtener los valores de las variables duales correspondientes.

Para ilustrar este procedimiento se pide al lector que consulte el conjunto de tablas símplex dadas en la tabla 4.12 para el ejemplo de terapia de radiación. Las primeras tres tablas símplex contienen todavía variables artificiales como variables básicas, pero éste no es el caso en la tabla final, así que se puede usar su renglón 0 para identificar la solución óptima del problema dual que se muestra en la tabla 6.16. La primera restricción primal es una restricción estándar, por lo que y1 es justo el coeficiente de la primera variable de holgura (x3), o y1= 0.5. La segunda restricción es de igualdad, así que se observa el coeficiente de su variable artificial (x4) para obtener

y'2 = ( M-1.1) - M = -1.1.

La tercera restricción tiene el lado derecho negativo, por lo que se usa el coeficiente de su variable de holgura (x5) para obtener y3 = 0. Como antes, las variables de superávit para el problema dual son los coeficientes de las variables originales, x1 y x2, con lo que (z1 - c1) = 0, (z2-c2) = 0. Esto completa la solución básica dual óptima,

(y1, y'2, y3, Z1 - c1, z2 - c2) = (0.5, -1.1, 0, 0, 0)