Formulacion Propiedad esencial de programación separable - Ejemplo (III)

Con esto se llega a la propiedad esencial de programación separable. Si bien este modelo no toma en cuenta este factor de manera explícita, lo hace en forma implícita! Aunque el modelo tenga un exceso de soluciones "factibles" que en realidad son inaceptable, se garantiza que cualquier solución óptima será legítima, es decir, que no sustituirá tiempo de trabajo normal disponible con horas extra. (El razonamiento en este caso es análogo al del método de la M que se presentó en la sección 4.6, en el que también se permiten más soluciones factibles, pero no óptimas, de las reales por conveniencia para trabajar.) En efecto, se puede aplicar con seguridad el método símplex a este modelo para encontrar la mezcla de productos más redituable. La razón es doble. Primero, las dos variables de decisión para cada producto siempre aparecen juntas como una suma, (x1R + x1O) o (x2R + x2O), en cada restricción funcional (un en este caso) distinta a las restricciones de cota superior sobre las variables indiviaduales. Por tanto, siempre es posible convertir una solución factible no aceptable en una aceptable que tenga las mismas tasas de producción totales, x1 = x1R + x1O  y x2 = x2R + x2O, con sólo reemplazar la producción en tiempo extra por producción normal lo más que se pueda. SEgundo, la producción en tiempo extra es menos redituable que la normal (es decir, la pendiente de cada curva de ganancia de la figura 15.13 es una función monótona decreciente de la tasa de producción), de modo que al convertir una solución factible no aceptable en una aceptable debe incrementarse la tasa total de la ganancia Z. En consecuencia, cualquier solución factible que usa tiempo extra de producción para un producto, cuando todavía se dispone de tiempo normal, no puede ser óptima respecto al modelo.

Formulacion Propiedad esencial de programación separable - Ejemplo (II)

Sin embargo, existe un factor importante que no se toma en cuenta en esta formulación y éste es que no existe nada en el modelo que requiera que se utilice todo el tiempo normal disponible, antes de emplear cualquier tiempo extra para ese producto. En otras palabras, puede ser factible tener x10 > 0 aun cuando x1R < 3 y tener x20 > 0  aun cuando x2R < 3. Tal solución sería inaceptable para la gerencia. ( La prohibición de esta solución lleva a la reestricción especial de la que se hablaba)

Formulacion Propiedad esencial de programación separable - Ejemplo (I)

A primera vista puede parecer sencillo modificar el modelo de programación lineal de la Wyndor Glass Co. para que se ajuste a esta nueva situación. En particular, sea x1 = x1R + x1O la tasa de producción para el producto 1, en donde x1R es la tasa de producción alcanzada con tiempos normales de trabajo y x1O es la tasa de producci;on incremental al usar tiempo extra. Sea x2 = x2R + x2O definida de la misma manera para el producto 2. Así,  n =2, n1 = 2 y n2 = 2 en el modelo general anterior. El nuevo problema de programación lineal trata de determinar  los valores de x1R, x1O, x2R, x2O para

Propiedad esencial de programación separable - Ejemplo (II)

La administración ha tomado la decisión de usar tiempo extra en lugar de contratar más trabajadores durante esta situación temporal. Sin embargo, insiste en que se aprovechen por completo las brigadas de trabajo de cada producto en tiempo normal antes de usar cualquier tiempo extra. Lo que es más, piensa que temporalmente se deben cambiar las tasas de producción actuales (x1 =2 para el producto 1 y x2 =  6 para el producto 2), si esto mejora el rendimiento total. Por todo esto, ha girado instrucciones al departamento de investigación de operaciones para revisar los productos 1 y 2 y determinar de nuevo la mezcla de productos más redituables para los próximos cuatro meses.

Propiedad esencial de programación separable - Ejemplo

La Wyndor Glass Co. (véase la sección 3.1) recibió un pedido especial deartículos de procesos manuales que se deben elaborar en las plantas 1 y 2 durante los próximos cuatro meses. PAra cumplir con este pedido será necesario asignar algunos empleados de las brigadas de trabajo de los productos normales, por lo que los trabajadores se queden tendrán que trabajar horas extra para utilizar toda la capacidad de producción de la maquinaria y equipo de la planta para estos productos. En particular, a fin de fabricar los dos nuevos productos normales que se analizaron en la sección 3.1, el tiempo extra tendrá que utilizar el último 25% de la capacidad disponible en la planta 1 para el producto 1 y el último 50% de la capacidad disponible en la planta 2 para el producto 2. El costo adicional del tiempo extra reducirá la ganancia de cada unidad de $3 a $2 para el producto 1 y de $5 a $1 para el producto 2, de lo que resultarán las curvas de ganancia de la figura  14.3, las cuales se ajustan a la forma del caso 1 de la figura 14.12.

Propiedad esencial de programación separable (III)

La manera más eficiente de resolver este modelo es usar la versión simplificada del método símplex para manejar restricciones de cota superior, que se mencionó al final de la sección 7.5 (y se describió en la sección 9.1). Después de obtener una solución óptima para este modelo, se calcula

Propiedad esencial de programación separable (II)

Para escribir el modelo completo de programación lineal con la notación anterior, sea nj el número de segmentos de recta en fj(xj) (o en la función lineal por prtes que la aproxima), de manera que