Ejemplo de Cambios en la bi (II)

Cuando se aplica la idea fundamental (tabla 6.17), se encuentra que el efecto de este cambio sobre la tabla símplex original final (parte media de la tabla 6.18) es que los elementos de la columna del lado derecho cambian a los siguientes valores:

Ejemplo de Cambios en la bi (I)

El análisis de sensibilidad para el problema original de la Wyndor Glass Co. de la sección 3.1 comienza por examinar los valores óptimos de las variables duales yi (yi* = 0, y2* = 3/2, y3* = 1). Estos precios sombra dan el valor marginal de cada recurso i para las actividades (dos nuevos productos) bajo consideración. Como se dijo en la sección 4.7 (véase la figura 4.3), se puede aumentar la ganancia total debida a estas actividades en $1.50/minuto por cada unidad adicional del recurso 2 (capacidad de producción en la planta 2) que quede disponible. Este aumento en las ganancia es válido para cambios relativamente pequeños que no afecten la factibilidad de la solución básica actual (y por tanto, que no afecten los valores yi*).

En consecuencia, el departamento de investigación de operaciones ha investigado la ganancia marginal posible debida a los otros usos actuales de este recurso para determina si alguna es menor que $1.50/minuto. Esta investigación puso de manifiesto que uno de los productos antiguos es mucho menos redituable. LA tasa e producción para este producto ya se redujo a la cantidad mínima que justifica sus gastos de comercialización, pero se puede descontinuar, lo que proporcionarí 12 unidades adicionales del recurso 2 para los nuevos productos. Entonces, el siguiente paso es determinar qué ganancia se podría obtener de los nuevos productos si se hiciera esta transferencia, que cambia b2 de 12 a 24 en el modelo de programación líneal. La figura 6.3 muestra el efecto de este cambio, incluso el cambio en la solución en un vértice final de (2,6) a (-2,12).

Caso 1 - Cambios en las bi

Supóngase que los únicos cambios al modelo actual consisten en el cambio de uno o más de los parámetros bi (i = 1,2,.....,m). En este caso, los únicos cambios que resultan en la tabla símplex final se encuentran en la columna del lado derecho, por lo cual, se pueden omitir del procedimiento general tanto la conversión a la forma apropiada de eliminación de Gauss como la prueba de optimalidad.

Aplicación del análisis de sensibilidad

El análisis de sensibilidad casi siempre comienza con la investigación del efecto de los cambios en las bi, la cantidad del recurso i (i = 1,2,....., m) que se encuentra disponible para las actividades bajo consideración. La razón es que en general existe mayor flexibilidad al establecer y ajustar estos valores que los otros parámetros del modelo. Como ya se dijo en las secciones 4.7 y 6.2, la interpretación económica de las variables duales (las yi) como precios sombra es extremadamente útil para decidir cuáles son los cambios que debe estudiarse.

Resumen del procedimiento para análisis de sensibilidad

1. Revisión del modelo: se hacen los cambios deseados en el modelo que se va a investigar
2. Revisión de la tabla símplex final: se emplea la idea fundamental para determinar los cambios que resultan en la tabla símplex final.
3. Conversión a la forma apropiada: se escribe esta tabla en la forma apropiada para identificar y evaluar la solución básica actual aplicando (según sea necesario) la eliminación de Gauss.
4. Prueba de factibilidad: se prueba la factibilidad de esta solución verificando que todas las variables básicas sigan teniendo valores no negativos en la columna del lado derecho de la tabla.
5. Prueba de optimalidad: se verifica si esta solución es óptima  (si es factible), comprobando que todos los coeficientes de las variables no básicas en el renglón 0 sigan siendo no negativos.
6. Reoptimización: si esta solución no pasa cualquiera de estas pruebas, se pueden  obtener (si se desea) la nueva solución óptima partiendo de la tabla actual como tabla símplex inicial (haciendo las conversiones necesarias) para el método símplex o del método símplex dual.

En la siguiente sección se presentará e ilustrará la aplicación de este procedimiento a cada una de las categorías más importantes de revisiones del modelo original. Este estudio incluye, en parte, la extensión sobre el ejemplo que se introdujo en esta sección para investigar cambios en el modelo de la Wyndor Glass Co. De hecho, se debe comenzar por verificar individualmente cada uno de los cambios anteriores. Al mismo tiempo, se integrarán al análisis de sensibilidad algunas de las de las aplicaciones de la teoría de dualidad que se mencionaron en la sección 6.5.

Esencia del análisis de sensibilidad (XI)

Si esta solución básica (-3, 12, 7, 0, 0) no hubiera sido factible ni superóptima (esto es, si la tabla hubiera tenido números negativos tanto en el lado derecho como en el renglón 0), se hubiera podido introducir variables artificiales para convertirla en la forma apropiada para una tabla símplex inicia.

Cuando se realizan pruebas para detectar cuán sensible es la solución óptima original a los distintos parámetros del modelo, el enfoque común es verificar cada parámetro en forma individual, y cambiar su valor de estimación inicial a otras posibilidades dentro del intervalo de valores probables (incluyendo los extremos de este intervalo). Una vez identificados los parámetros más sensibles, se pueden investigar algunas combinaciones de cambios simultáneos. Cada vez que se cambia uno o más parámetros, se debe aplicar el procedimiento que acaba de describirse. Se resumirá ahora este procedimiento.

Esencia del análisis de sensibilidad (X)

Para el ejemplo, la tabla símplex final revisada que se muestra en la parte superior de la tabla 6.19 no está en la forma apropiada de eliminación gaussiana causa de la columna de la variable básica x1. En particular, el coeficiente x1 en su renglón (el 3) es 2/3 en lugar de 1, y tiene coeficientes distintos de cero (-2 y 1/3) en los renglones 0 y 1. Para restablecer la forma apropiada se multiplica el renglón 3 por 3/2, después este nuevo renglón 3 multiplicado por 2  se suma al renglón 0; por último 1/3 de dicho renglón 3 se resta el renglón 1. Esto lleva a la forma apropiada de eliminación de Gauss que se muestra en la parte inferior de la tabla 6.19, que ahora se puede usar para identificar los nuevos valores de la solución básica actual (antes óptima).

(x1, x2, x3, x4, x5) = (-3, 12, 7, 0, 0).

como x1 es negativa, esta solución básica ya no es factible, pero es superóptima (véase la tabla 6.10) por que todos los coeficientes en el renglón 0 son no negativos. Entonces, el método símplex dual puede ser útil para reoptimizar (si se desea), comenzando con esta solución básica. Si se hace referencia la figura 6.2 (y se ignoran las variables de holgura), el método símplex dual lleva a cabo sólo una iteración para moverse de la solución en el vértice (-3, 12) a la solución factible óptima en el vértice (0,9).