FORMULACIÓN DE UN MODELO MATEMÁTICO - Ejemplo

 Un estudio de IO realizado para Monsanto Corp.1 se concentró en la optimización de los procedimientos de producción en las plantas químicas de esta compañía. El objetivo era minimizar el costo por cumplir con las metas de cantidad de cierto producto químico (anhídrido maleico) que debía producirse en un mes dado. Las decisiones que era necesario tomar se relacionaban con el disco de control de cada uno de los reactores catalíticos usados para fabricar este producto; el número de control determina tanto la cantidad producida como el costo de operación del reactor. La forma del modelo matemático que resultó es la siguiente:

Uno de los problemas más desafiantes que enfrentan las líneas aéreas es encontrar la forma de reorganizar las asignaciones de tripulación a los vuelos cuando ocurren retrasos o cancelaciones debido a las inclemencias del tiempo, problemas mecánicos de las naves o poca disponibilidad de personal. Un equipo de IO de Continental Airlines2 desarrolló un modelo matemático detallado para resolver este problema en las emergencias mencionadas. Debido a que la línea aérea tiene miles de tripulaciones y vuelos diarios, el modelo necesitaba ser enorme para considerar todas las combinaciones de tripulaciones y vuelos posibles. En el primer año de uso —principalmente durante 2001—, el modelo se aplicó cuatro veces para recuperar interrupciones importantes en el itinerario —dos tormentas de nieve, una inundación y los ataques terroristas del 11 de septiembre—. Su empleo produjo ahorros aproximados a 40 millones de dólares. Las aplicaciones subsecuentes se extendieron también a muchas interrupciones menores que ocurren a diario.

La oficina responsable de control del agua y los servicios públicos del gobierno de Holanda, el Rijkswaterstaat, contrató un importante estudio de IO1 para guiar el desarrollo de una nueva política de administración del vital líquido. La nueva política ahorró cientos de millones de dólares en gastos de inversión y redujo el daño agrícola en alrededor de 15 millones de dólares anuales, al mismo tiempo que disminuyó la contaminación térmica y la debida a las algas. En lugar de elaborar sólo un modelo matemático, se desarrolló un sistema integrado y comprensible de ¡50 modelos! Más aún, en el caso de algunos modelos se desarrollaron versiones sencillas y complejas. La versión sencilla se usó para adquirir una visión básica que incluyó el análisis de intercambios. La versión compleja se utilizó después, en las corridas finales del análisis o cuando se deseaba mayor exactitud o más detalle en los resultados. El estudio completo de IO involucró de manera directa a más de 125 personasaño de esfuerzo —más de un tercio de ellas en la recolección de datos—, creó varias docenas de programas de computadora y estructuró una enorme cantidad de datos.

FORMULACIÓN DE UN MODELO MATEMÁTICO Parte 2

 Por otro lado, existen obstáculos que deben ser evitados cuando se utilizan modelos matemáticos. Un modelo es, por necesidad, una idealización abstracta del problema, por lo que casi siempre se requieren aproximaciones y supuestos de simplificación si se desea que el modelo sea manejable (susceptible de ser resuelto). Por lo tanto, debe tenerse cuidado de que el modelo sea siempre una representación válida del problema. El criterio adecuado para juzgar la validez de un modelo es si predice o no con suficiente exactitud los efectos relativos de los diferentes cursos de acción, para poder tomar una decisión que tenga sentido. No es necesario incluir detalles sin importancia o factores que tienen aproximadamente el mismo efecto sobre todas las opciones. Ni siquiera es necesario que la magnitud absoluta de la medida de eficacia sea aproximadamente correcta para las diferentes alternativas, siempre que sus valores relativos —es decir, las diferencias entre sus valores— sean bastante precisos. Entonces, todo lo que se requiere es que exista una alta correlación entre la predicción del modelo y lo que ocurre en la vida real. Para asegurar que este requisito se cumpla, es importante hacer un número considerable de pruebas del modelo y las modificaciones consecuentes, que serán el tema de la sección 2.4. Aunque en el orden del libro esta fase de pruebas se haya colocado después, gran parte del trabajo de validación del modelo se lleva a cabo en la etapa de construcción para que sirva de guía para elaborar el modelo matemático.

En la etapa de desarrollo del modelo se recomienda empezar con una versión muy sencilla y avanzar de manera evolutiva hacia paradigmas más elaborados que reflejen mejor la complejidad del problema real. Este proceso de enriquecimiento del modelo continúa sólo mientras sea manejable. La decisión básica que debe tomarse oscila entre la precisión y el manejo del modelo. (Vea en la referencia 8 una descripción detallada de este proceso.)

Un paso crucial en la formulación de un modelo de IO es la construcción de la función objetivo. Esta tarea requiere desarrollar una medida cuantitativa de la eficacia relativa para cada objetivo que el tomador de decisiones identifica cuando define el problema. Si en el estudio se contempla más de un objetivo, es necesario transformar y combinar las medidas respectivas en una medida compuesta de eficacia llamada medida global de eficacia. Esta medida compuesta puede ser algo tangible —ganancias— y corresponder a una meta más alta de la organización, o puede ser abstracta —“utilidad” —. En este caso, desarrollar una función de utilidad puede ser complejo y requerir una comparación cuidadosa de los objetivos y su importancia relativa. Una vez desarrollada la medida global de eficacia, la función objetivo expresa esta medida como una función matemática de las variables de decisión. De manera alternativa, existen métodos que contemplan al mismo tiempo y en forma explícita objetivos múltiples; en el capítulo 7 se analiza uno de ellos (programación por objetivos).

FORMULACIÓN DE UN MODELO MATEMÁTICO Parte 1

 Una vez definido el problema del tomador de decisiones, la siguiente etapa consiste en reformularlo de manera conveniente para su análisis. La forma convencional en que la investigación de operaciones logra este objetivo es mediante la construcción de un modelo matemático que represente la esencia del problema. Antes de analizar cómo se elaboran los modelos de este tipo, se explorará su naturaleza general y, en particular, la de los modelos matemáticos.  

Los modelos, o representaciones idealizadas, son una parte integral de la vida diaria. Entre los ejemplos más comunes pueden citarse modelos de avión, retratos, globos terráqueos y otros. De igual manera, los modelos tienen un papel importante en la ciencia y los negocios, como lo hacen patente los modelos del átomo y de las estructuras genéticas, las ecuaciones matemáticas que describen las leyes físicas del movimiento o las reacciones químicas, las gráficas, los organigramas y los sistemas contables en la industria. Esos modelos son invaluables, pues extraen la esencia del material de estudio, muestran sus interrelaciones y facilitan el análisis.

Los modelos matemáticos también son representaciones idealizadas, pero están expresados en términos de símbolos y expresiones matemáticas. Las leyes de la física como F = ma y E = mc2 son ejemplos familiares. En forma parecida, el modelo matemático de un problema industrial está conformado por el sistema de ecuaciones y expresiones matemáticas relacionadas que describen la esencia del problema. De esta forma, si deben tomarse n decisiones cuantificables relacionadas entre sí, se representan como variables de decisión —x1, x2, …, xn — para las que se deben determinar los valores respectivos. En consecuencia, la medida de desempeño adecuada (por ejemplo, la ganancia) se expresa como una función matemática de estas variables de decisión —por ejemplo, P = 3x1 + 2x2 + … + 5xn —. Esta función se llama función objetivo. También se expresan en términos matemáticos todas las limitaciones que se puedan imponer sobre los valores de las variables de decisión, casi siempre en forma de ecuaciones o desigualdades —como x1 + 3x1x2 + 2x2 ≤ 10—. Con frecuencia, tales expresiones matemáticas de las limitaciones reciben el nombre de restricciones. Las constantes —los coeficientes o el lado derecho de las ecuaciones— de las restricciones y de la función objetivo se llaman parámetros del modelo. El modelo matemático puede expresarse entonces como el problema de elegir los valores de las variables de decisión de manera que se maximice la función objetivo, sujeta a las restricciones dadas. Un modelo de este tipo, y algunas de sus variantes menores, tipifican los modelos analizados en investigación de operaciones.

La determinación de los valores apropiados que deben asignarse a los parámetros del modelo —un valor por parámetro— es una tarea crítica y a la vez un reto en el proceso de construcción del modelo. Al contrario de los problemas presentados en los libros donde se proporcionan estos números, la determinación de los valores de los parámetros en los problemas reales requiere la recolección de los datos relevantes. Como se vio en la sección anterior, a menudo la recolección de datos exactos es difícil. Por lo tanto, es común que el valor asignado a un parámetro sea, por necesidad, sólo una estimación. Debido a la incertidumbre sobre el valor real del parámetro, es importante analizar la forma como cambiaría —si lo hace— la solución derivada del problema cuando el valor asignado al parámetro cambia por otros valores posibles. Este proceso, que se conoce como análisis de sensibilidad, se estudiará en la siguiente sección (y en gran parte del capítulo 6).

Aun cuando se hable de “el” modelo matemático de un problema en la industria, por lo general los problemas reales no pueden ser representados por un solo modelo “correcto”. En la sección 2.4 se describe la manera como el proceso de prueba de un modelo conduce a una serie de modelos que proporcionan representaciones cada vez mejores del problema real. Incluso, es posible desarrollar dos o más tipos de modelos diferentes para analizar el mismo problema.

A lo largo de este libro se proporcionarán numerosos ejemplos de modelos matemáticos. En los capítulos siguientes se estudia cierta clase de modelo con una importancia especial, denominado modelo de programación lineal, en el que las funciones matemáticas que aparecen tanto en la función objetivo como en las restricciones, son funciones lineales. En el capítulo 3 se construyen modelos específicos de programación lineal que se ajustan a diversos tipos de problemas, tales como determinar 1) la mezcla de productos que maximiza la ganancia; 2) el diseño de la terapia de radiación que combata de manera eficaz un tumor y que al mismo tiempo minimice el daño al tejido sano circundante; 3) la asignación de hectáreas a distintos cultivos para maximizar el rendimiento total neto, y 4) la combinación de métodos de control de contaminación que logre los estándares de calidad del aire a un costo mínimo.

Los modelos matemáticos tienen muchas ventajas sobre una descripción verbal del problema. La más obvia es que el modelo matemático describe un problema en forma mucho más concisa. Esta característica tiende a hacer más comprensible toda la estructura del problema y ayuda a revelar las relaciones importantes causaefecto. En segundo lugar, indica con mayor claridad qué datos adicionales son importantes para el análisis. También facilita el manejo del problema en su totalidad y, al mismo tiempo, el estudio de sus interrelaciones. Por último, un modelo matemático forma un puente para el empleo de técnicas matemáticas y computadoras de alto poder para analizar el problema. Sin duda, existe una amplia disponibilidad de paquetes de software para resolver muchos tipos de modelos matemáticos, en computadoras personales y de gran poder. 

DEFINICIÓN DEL PROBLEMA Y RECOLECCIÓN DE DATOS - Ejemplos.

 Un estudio de IO para el Departamento de Policía de San Francisco dio como resultado el desarrollo de un sistema computarizado para la programación y asignación óptima de los oficiales de policía en patrulla. El nuevo sistema generó un ahorro anual de 11 millones de dólares, un incremento anual de 3 millones de ingresos por infracciones de tránsito y una mejora de 20% en tiempos de respuesta.

Cuando se establecieron los objetivos apropiados de este estudio, se identificaron tres de ellos como fundamentales:

1. Mantener un alto nivel de seguridad civil.

2. Mantener en un alto nivel la moral de los oficiales.

3. Minimizar el costo de las operaciones.

Para satisfacer el primer objetivo, el departamento de policía y el gobierno de la ciudad fijaron un nivel deseado de protección. Luego, el modelo matemático impuso el requisito de lograr este nivel de protección. De manera similar, también impuso el requisito de balancear la carga de trabajo entre los oficiales con el fin de lograr el segundo objetivo. Por último, el tercer objetivo se incorporó adoptando la meta a largo plazo de minimizar el número de oficiales necesarios para cumplir con los dos primeros objetivos.

El Departamento de Salud de New Haven, Connecticut, utilizó un equipo de IO para diseñar un eficaz programa de intercambio de agujas para combatir el contagio del virus que causa el SIDA (VIH). El emprendimiento tuvo éxito pues se logró una reducción de 33% de la tasa de infección entre los participantes del programa. La parte central de este estudio fue un innovador programa de recolección de datos con el fin de obtener los insumos necesarios para los modelos matemáticos de transmisión del SIDA. Este programa abarcó un rastreo completo de cada aguja y cada jeringa —con la identificación, localización y fecha de cada persona que recibía una aguja así como la de aquella que la regresaba después de un intercambio—, junto con una prueba que determinara la negatividad o positividad de la aguja utilizada respecto al VIH.

A finales de la década de los noventa, las compañías de servicios financieros generales sufrieron el ataque de las firmas de corretaje electrónico que ofrecían costos de compraventa financiera muy bajos. Merrill Lynch2 respondió con la realización de un gran estudio de IO que recomendó la revisión completa de la manera como cobraba sus servicios, desde una opción basada en activos de servicio completo —cargo de un porcentaje fijo del valor de los activos en vez de hacerlo por transferencias individuales— hasta una opción de bajo costo para los clientes que deseaban invertir en línea de manera directa. La recolección y el procesamiento de datos tuvieron un papel fundamental en el estudio. Para analizar el efecto del comportamiento individual de los clientes en respuesta a diferentes opciones, el equipo decidió montar una base de datos de clientes con una capacidad de 200 gigabytes, la cual debía contener cinco millones de clientes, 10 millones de cuentas, 100 millones de registros de transacciones y 250 millones de registros contables. 

Este objetivo requirió combinar, reconciliar, filtrar y limpiar datos procedentes de muchas bases de datos. La adopción de las recomendaciones del estudio produjo un incremento de cerca de 50 mil millones de dólares en la posesión de activos de sus clientes y casi 80 millones de dólares en ganancias adicionales.

Mediante un estudio de IO realizado para Citgo Petroleum Corporation,3 se optimizaron tanto las operaciones de refinación como el abastecimiento, la distribución y la comercialización de sus productos, lo cual produjo una mejora en las utilidades de alrededor de 70 millones de dólares al año. También en este estudio la recolección de datos jugó un papel muy importante. El equipo de IO realizó juntas para obtenerlos de la alta administración de Citgo con el objeto de asegurar la calidad continua de los datos. Se desarrolló un sistema de base de datos administrativos con tecnología de punta y se instaló en una computadora gigante.

En el caso de los datos solicitados que no existían, se crearon pantallas de LOTUS 1-2-3 para que el personal de operaciones introdujera la información recabada en computadoras personales (PC) que después se transfería a la computadora principal. Antes de introducir los datos en el modelo matemático, se usó un programa para verificar errores e incongruencias. Al principio, este programa generaba una lista de errores y mensajes de ¡2.5 cm de alto! Con el tiempo, el número de errores y mensajes (que indicaban números equivocados o dudosos) se redujo a menos de 10 en cada nueva corrida.

En la sección 3.5 se describirá el estudio de Citgo con más detalle. 

DEFINICIÓN DEL PROBLEMA Y RECOLECCIÓN DE DATOS Parte 2

De la misma manera, las corporaciones internacionales adquieren las obligaciones adicionales de cumplir con una práctica social responsable. Entonces, aunque se acepte que obtener ganancias es la responsabilidad primordial de la administración —lo cual, en última instancia, beneficia a las cinco partes—, también deben reconocerse estas responsabilidades sociales más extensas.

Es común que los equipos de IO pasen mucho tiempo en la recolección de los datos relevantes del problema. Se necesitan muchos datos para lograr la comprensión exacta del problema y así proporcionar el insumo adecuado para el modelo matemático que se elaborará en la siguiente etapa del estudio. Con frecuencia, al inicio del estudio no se dispone de muchos datos necesarios, ya sea porque nunca se guardó la información o porque lo que se guardó cayó en la obsolescencia o se almacenó en una forma incorrecta. En consecuencia, muchas veces se debe instalar un nuevo sistema de información general para reunir los datos sobre la marcha y en la forma adecuada. El equipo de IO debe destinar un tiempo considerable para recabar la ayuda de otros individuos clave de la organización, esto es, aquellos que le puedan proporcionar todos los datos vitales. Aun con este esfuerzo, muchos datos pueden ser “blandos”, es decir, estimaciones burdas basadas sólo en juicios personales. A menudo, el equipo de IO debe utilizar una gran cantidad de tiempo para mejorar la precisión de los datos y al final tendrá que trabajar con lo mejor que pudo obtener.

Debido a la expansión del uso de bases de datos y el crecimiento explosivo de sus tamaños en los años recientes, en la actualidad los equipos de IO a menudo se encuentran con que su problema más grande con los datos es que existen demasiados. Puede haber miles de fuentes de información, por lo cual la cantidad total de datos debe medirse en gigabytes o incluso en terabytes. En este entorno, la localización de los datos relevantes y la identificación de patrones interesantes pueden convertirse en tareas abrumadoras. Una de las herramientas más modernas de los equipos de IO que aborda este problema es una técnica denominada extracción de datos. Los métodos para aplicarla tratan de descubrir patrones interesantes dentro de las grandes fuentes de información que puedan conducir a una toma de decisiones útiles. (La primera referencia seleccionada al final del capítulo proporciona una base más sólida acerca de la extracción de datos.)

DEFINICIÓN DEL PROBLEMA Y RECOLECCIÓN DE DATOS Parte 1

 En contraste con los ejemplos de los libros de texto, la mayor parte de los problemas prácticos que enfrenta un equipo de IO son descritos, al principio, de una manera vaga e imprecisa. Por consiguiente, la primera actividad será el estudio del sistema relevante y el desarrollo de un resumen bien definido del problema que será analizado. Esta etapa incluye la determinación de los objetivos apropiados, las restricciones sobre lo que es posible hacer, las interrelaciones del área en estudio con otras áreas de la organización, los diferentes cursos de acción posibles, los límites de tiempo para tomar una decisión, etc. Este proceso de definición del problema es crucial, pues afectará de forma significativa la relevancia de las conclusiones del estudio. ¡Es difícil obtener una respuesta “correcta” a partir de un problema enfocado de manera “equivocada”!

Lo primero que debe reconocerse es que un equipo de IO, por lo general, trabaja a nivel de asesoría. A los miembros del equipo no se les presenta un problema y se les dice que lo resuelvan como puedan, sino que asesoran a la administración —casi siempre un tomador de decisiones clave—. El equipo realiza un análisis técnico detallado y después presenta recomendaciones. Este informe identifica cierto número de opciones atractivas, en particular con diferentes supuestos o para un rango diferente de valores, de algún parámetro que marca una política que puede ser evaluada sólo por esa administración —por ejemplo, la decisión entre costo y beneficio—. La administración evalúa el estudio y sus recomendaciones, analiza una variedad de factores intangibles y toma una decisión final con base en su mejor juicio. Es vital que el equipo de IO tenga una visión al mismo nivel que la administración, incluso para la identificación del problema “correcto” desde el punto de vista gerencial y que, a su vez, la administración le brinde apoyo sobre cualquier curso que tome el estudio.

Un aspecto muy importante de la formulación del problema es la determinación de los objetivos apropiados. Para hacerlo, es necesario, en primer lugar, identificar a las personas de la administración que en realidad tomarán las decisiones concernientes al sistema en estudio, y después escudriñar el pensamiento de estos individuos en relación con los objetivos pertinentes. (La inclusión del tomador de decisiones desde el principio es esencial para obtener su apoyo durante la realización del estudio.)

Por su naturaleza, la IO se encarga del bienestar de toda la organización, no sólo de algunos componentes. Un estudio de IO trata de encontrar soluciones óptimas globales, y no soluciones menos que óptimas aunque sean lo mejor para uno de los componentes. Idealmente, los objetivos formulados deben coincidir con los de toda la organización; sin embargo, esta coincidencia no siempre es conveniente. Muchos problemas interesan sólo a una parte de la organización, de manera que el análisis sería demasiado extenso si los objetivos fueran generales y se prestara atención especial a todos los efectos secundarios sobre el resto de la organización. En lugar de ello, los objetivos de un estudio deben ser tan específicos como sea posible, siempre y cuando consideren las metas principales del tomador de decisiones y mantengan un nivel razonable de congruencia con los objetivos de niveles más elevados.

Cuando se trata de organizaciones lucrativas, un enfoque posible para no caer en un problema de suboptimización es utilizar la maximización de la ganancia a largo plazo —considerando el valor del dinero en el tiempo— como un objetivo único. El adjetivo a largo plazo indica que este objetivo proporciona la flexibilidad necesaria para considerar actividades que no se traducen de inmediato en ganancias —como los proyectos de investigación y desarrollo—, pero que deberán hacerlo con el tiempo para que valgan la pena. Este enfoque tiene muchas ventajas. El objetivo es tan específico como para usarlo en forma adecuada y al mismo tiempo lo bastante amplio como para tomar en cuenta la meta básica de las organizaciones lucrativas. En realidad, algunas personas piensan que cualquier otro objetivo legítimo se puede traducir en ganancias.

Sin embargo, en la práctica, muchas organizaciones lucrativas no utilizan este enfoque. Algunos estudios de corporaciones estadounidenses han demostrado que la administración tiende a adoptar la meta de ganancias satisfactorias combinada con otros objetivos, en lugar de enfocarse en la maximización de la ganancia a largo plazo. 

Algunos de estos otros objetivos pueden ser conservar la estabilidad de las ganancias, aumentar —o conservar— la participación de mercado con que se cuenta, permitir la diversificación de productos, mantener precios estables, mejorar las condiciones y el ánimo de los trabajadores, mantener el control familiar sobre el negocio o incrementar el prestigio de la compañía. Si se satisfacen estos objetivos, tal vez se logre maximizar las ganancias a largo plazo, pero la relación puede ser tan oscura que quizá sea mejor no incorporarlos.

Existen otras consideraciones que incluyen responsabilidades sociales muy distintas al objetivo de las ganancias. Las cinco partes que son afectadas por una empresa de negocios localizadas en un país determinado son: 1) los dueños (accionistas, etc.), que desean obtener ganancias (dividendos, valuación de acciones, etc.); 2) los empleados, que aspiran a un empleo seguro con un salario razonable; 3) los clientes, que quieren un producto confiable a un precio justo; 4) los proveedores, que desean integridad y un precio de venta razonable para sus bienes, y 5) el gobierno y, por ende, la nación, que quiere el pago de impuestos justo y que se tome en cuenta el interés común. Las cinco partes hacen contribuciones esenciales a la empresa; ésta no debe servir a ninguna de ellas para explotar a las otras. De la misma manera, las corporaciones internacionales

Panorama del enfoque de modelado en investigación de operaciones

 Lade mayor parte de este libro está dedicada a los métodos matemáticos de investigación de operaciones (IO). Esta disposición resulta apropiada puesto que las técnicas cuantitativas constituyen la parte principal de lo que se conoce sobre el tema. Sin embargo, ello no significa que los estudios prácticos de IO sean, en esencia, ejercicios de matemáticas. Con frecuencia, el análisis matemático sólo representa una pequeña parte del trabajo. El propósito de este capítulo es dar a las cosas una mejor dimensión mediante la descripción de las etapas más importantes de un estudio característico de IO.

Una manera de resumir las fases usuales —no secuenciales— de un estudio de investigación de operaciones es la siguiente:

1. Definición del problema de interés y recolección de datos relevantes.

2. Formulación de un modelo matemático que represente el problema.

3. Desarrollo de un procedimiento basado en computadora para derivar una solución para el problema a partir del modelo.

4. Prueba del modelo y mejoramiento de acuerdo con las necesidades.

5. Preparación para la aplicación del modelo prescrito por la administración.

6. Implementación.

En las siguientes secciones se analizará cada una de estas etapas.

La mayoría de los estudios de IO enumerados en la tabla 1.1 proporcionan ejemplos excelentes de la realización correcta de estas etapas. Algunos fragmentos de estos ejemplos serán intercalados a lo largo del capítulo, con referencias para estimular al lector a leer más sobre el tema.