Juegos con estrategias mixtas (III)

En donde pij es el pago si el jugador I usa la estrategia pura i y el jugador II usa la estrategia pura j. En el ejemplo de estrategias mixtas que se acaba de dar existen cuatro pagos posibles (-2, 2, 4-3), en donde cada uno ocurre con una probabilidad de 1/4; el pago esperado es de 1/4(-2 + 2 + 4 -3) = 1/4. Así, esta medida de desempeño no revela nada sobre los riesgos inherentes al juego, pero indica a qué cantidad  tiende el pago promedio si el juego se efectuara muchas veces.

Juegos con estrategias mixtas (II)

En el momento de jugar, es necesario que cada participante use una de sus estrategias puras, pero esta estrategia pura se elegirá mediante algún dispositivo aleatorio para obtener una observación aleatoria para obtener una observación aleatoria que siga la distribución de probabilidad específicada por la estrategia mixta; esta observación indicará la estrategia pura que se debe usar.

Juegos con estrategias mixtas (I)

Siempre que un juego no tenga punto silla, la teoría de juegos aconseja a cada jugador asignar una distribución de probabilidad sobre su conjunto de estrategias. Para expresar esto matemáticamente, sea:

xi = probabilidad de que el jugador I use la estrategia i (i= 1,2,......,m)
yj = probabilidad de que el jugador II use la estrategia j (j = 1,2,.....n)

donde m y n son el número de estrategias disponibles. Así, el jugador I especificará su plan de juego asignando valores a x1, x2, ..... xm. Como estos valores son probabilidades, tendrán que ser no negativos y sumar 1. De igual manera, el plan para el jugador II se describe mediante los valores que asigne a sus variables de decisión y1,y2,.....yn Por lo general se hace referencia a estos planes (x1, x2, ......, xm) y (y1, y2....., yn) con el nombre de estrategias mixtas, y entonces las estrategias originales se llaman estrategias puras.

Formulación Soluciones de juegos sencillos - Ejemplo prototipo (XII) Variación 3

El hecho fundamental parece ser que siempre que se puede predecir la estrategia de un jugador, el oponente puede aprovechar esta información para mejorar su posición. Por tanto, una característica esencial de un plan racional para jugar un juego como este es que ningún jugador pueda predecir qué estrategia usará el otro. Entonces, en lugar de aplicar algún criterio conocido para determinar una sola estrategia que se usará en forma definitiva, es necesario elegir entre las estrategias aceptables de alguna manera aleatoria. Al hacer esto, ningún jugador conoce de antemano cuál de sus propias estrategias se usará, mucho menos la de su oponente.

Esto sugiere, en términos muy generales, el tipo de enfoque que se requiere para juegos sin punto silla. La siguiente sección presenta este enfoque en forma más completa. Dadas estas bases, la atención gira hacia los procedimientos para encontrar la manera óptima de jugar estos juegos. se seguirá usando esta variación específica del problema de la campaña política con el fin de simplificar las ideas conforme se vayan desarrollando.

Formulación Soluciones de juegos sencillos - Ejemplo prototipo (XI) Variación 3

Cuáles serán las consecuencias si ambos jugadores planean usar las estrategias mencionadas? Se puede observar que el jugador I ganaría 2 al jugador II, lo que molestaría a esta último.

Como éste es racional, puede prever el resultado, con lo que concluiría que puede actuar mejor si gana 2 en lugar de perder 2 al jugar la estrategia 2. Como el jugador I tambiés es racional, prevendría este cambio y concluiría que él también puede mejorar mucho, de -2 a 4, si cambia a la estrategia 2. Al darse cuenta de esto, el jugador II tomaría en cuenta regresar a la estrategia 3 para convertir la pérdida de 4 en una ganancia de 3. Este cambio posible causaría que el jugador I usara de nuevo la estrategia 1, despues de lo cual volvería a comenzar todo el el ciclo.

En pocas palabras, la solución sugerida en un principio (estrategia 1 para el jugador 1 y estrategia 3 para el jugador II) es una solución inestable, con esto se ve la necesidad de desarrollar una solución más satisfactoria. Pero, qué clase de solución debe ser ésta?

Formulación Soluciones de juegos sencillos - Ejemplo prototipo (X) Variación 3

La información reciente sobre los resultados de la campaña da como resultado la matriz de pagos final que se muestra en la tabla 12.5 Cómo debe jugarse este juego?
Supóngase que ambos jugadores quieren aplicar el criterio minimax igual que en la variación 2. El jugador I puede garantizar que no perderá más de 2 si juega la estrategia 1. DE la misma manera, el jugador II puede asegurar que no perderá más de 2 si elige la estrategia 3.
Sin embargo, obsérvese que el valor máximo (-2) y el valor minimo (2) no coniciden en este caso. El resultado es que no hay punto silla.

Formulación Soluciones de juegos sencillos - Ejemplo prototipo (IX) Variación

Nótese que en esta matriz de pagos el mismo elemento proporciona tanto el valor mínimo como el máximo. Este interesante hecho se debe a que tal elemento, por un lado, es el mínimo del renglón y, por el otro, el máximo de la columna. Esta posición de un elemento se llama punto silla.

El hecho de que este juego posee un punto silla es en realidad esencial para determinar cómo debe jugarse. A causa de dicho punto, ningún jugador puede aprovechar la estrategia de su oponente para mejorar su propia posición. En particular, cuando el jugador II predice o sabe que el jugador I empleará la estrategia 2, él sólo aumentará sus pérdidas si cambia su plan original de usar la estrategia 2. De igual manera, el jugador I sólo empeoraría su posición si cambiara su plan. Asi, ningún jugador tiene motivos para considera un cambio de estrategia, ni para quedar con ventaja respecto a su oponente ni para evitar que su oponente puede con ventaja. Entonces, ésta es una solución estable, y cada jugador debe, exclusivamente, emplear sus respectivas estrategias maximin y minimax.

La siguiente variación ilustrará que algunos juegos no tienen punto silla y que en ese caso se requiere un análisis más complicado.