Estudio de caso - Reubicación de zonas escolares para lograr un balance racial (VI)

El siguiente paso es determinar cuándo esta solución es también óptima para el modelo original, incluyendo las restricciones de balance racial. Para ellos se verifica que tan grande puede ser L antes de que la solución viole alguna de estas restricciones; este valor es L ≤ 0.285. Colo la solución es factible para este intervalo de valores de L, debe ser también óptima para estos valores.

Dada esta información, los consultores aplicaron programación paramétrica para determinar los cambios que sufre la solución óptima al aumentar L en forma continua hasta 1/2, comenzando con la solución anterior y con L = 0.285. El resultado es una solución óptima que cambia en forma continua, donde cada variable se expresa en función de L. (Se puede decir que ésta es una aplicación del procedimiento de análisis de sensiblidad descrito en la sección 6.6, con una variación continua para determinar el efecto de introducir las restricciones de balance racial conforme sea necesario y del cambio en los coeficientes de estas variables en esas restricciones.

Estudio de caso - Reubicación de zonas escolares para lograr un balance racial (V)

Puede usarse esta misma forma para desarrollar las restricciones correspondientes de limite superior que representan los requerimientos de cada fracción ≤ 1/2 + θ. Sin embargo como

fracción de estudiantes blancos = 1 - fracción de estudiantes negros.

las restricciones anteriores de limite inferior impuestas a los dos tipos de fracciones garantiza que los requerimientos de límite superior se satisfaga y así no se necesitan otras restricciones para el modelo.

Puede decirse que este modelo tiene un defecto que consiste en que permite que las xij (al igual que el número correspondiente de estudiantes blancos y negros que se asignan de la sección i a la escuela j) tomen valores no enteros (por la suposición de divisibilidad de programación lineal). De todas maneras, si se considera el gran número de estudiantes que hay que tomar en cuenta, se piensa que no será difícil ajustar una solución óptima a valores enteros durante el análisis posterior. Los consultores saben, por experiencia, que un modelo de programación lineal tiene ventajas computacionales importantes sobre los modelos de programación entera, por lo que aparentemente vale la pena hacer las aproximaciones.

En este momento se puede pasar la etapa de cálculos de este estudio. Cuando L es lo suficientemente pequeño (esto es, θ está lo suficientemente cerca de 1/2), las restricciones de balance racial no tienen defecto y se pueden suprimir. También se puede observar que el problema sin estas restricciones se puede formular como un problema de transporte (el tipo especial de problema de programación lineal descrito en la sección 7.1). como se muestra en la tabla 8.8. Así, en lugar de aplicar el método símplex, los consultores comenzaron por aplicar el método símplex de transporte (véase sección 7.2) que es mucho más eficiente en el caso de esta fomulación. La solución óptima que se obtuvo tiene como variables básicas

Estudio de caso - Reubicación de zonas escolares para lograr un balance racial (IV)

En donde cada coeficiente del numerador es el número de estudiantes blancos en esa sección dividio entre el número total de estudiantes también de esa sección (véase la tabla 8.7). Así, la restricción de límite inferior para esta fracción es

Como las restricciones de esta forma requieren algoritmos de programación no lineal menos eficientes, los consultores decidieron convertir estas restricciones a una forma equivalente que se ajuste al formato de programación lineal. Esta conversión se hace multiplicando ambos lados de la desigualdad por el denominador del lado derecho, para obtener

Planeación y control de proyectos con PERT-CPM (I)

La buena administración de proyectos a gran escala requiere planeación, programación y coordinación cuidadosas de muchas actividades interrelacionadas. Al principiar la década de 1950 e desarrollaron procedimientos formales basados en el uso de redes y de las técnicas de redes para ayudar en estas tareas. Entre los procedimientos más sobresalientes se encuentran el PERT (técnica de evaluación y revisión de programas) y el CPM (método de la ruta crítica), aunque existen muchas variantes con diferentes nombres. Como se verá más adelante, existen diferencias importantes entre estos dos procedimientos. Sin embargo, a últimas fechas, existen diferencias importantes entre estos dos procedimientos. Sin embargo, a últimas fechas, existe una cierta tendencia a unir los dos enfoques en lo que se conoce como sistemas tipo PERT.

Aunque originalmente los sistemas tipo PERT se aplicaron para evaluar la programación de un proyecto de investigación y desarrollo, también se usan para controlar el avance de otros tipos de proyectos especiales. Como ejemplos se puede citar los programas de construcción, la programación de computadoras, la preparación de propuestas y presupuestos, la planeación del mantenimiento y la instalación de sistemas de cómputo. Este tipo de técnica se ha venido aplicando aún a la producción de película, a las campañas políticas y a operaciones quirúrgicas complejas.

Estudio de caso - Reubicación de zonas escolares para lograr un balance racial (V)

Balance racial

Las restricciones de balance racial deben especificar que la fracción de estudiantes de una raza dada en una escuela dada tiene que caer dentro de ciertos límites. Después de analizar el asunto con el consejo directivo escolar y de observar que la población estudiantil completa se divide en partes iguales  entre blancos y negros, se decidió que se tomarían los mismos límites para todas las escuelas  y que estos límites debían ser simétricos respecto a las razas. Así, para cada escuela y ambas razas, la fracción de estudiantes deben estar dentro de los limites.

1/2 - 

θ ≤ fracción ≤ 1/2 + θ,

de forma que θ representa la desviación máxima permitida de una distribución equitativa de razas en una escuela.

En cualquier otro caso, por ahora los miembros del consejo directivo no quieren especificar un valor para θ, hasta que puedan tener una idea de las consecuencias de su decisión en términos de las distancias que los estudiantes deben recorrer. (Recuérdese que intentan lograr un trueque razonable entre estos dos puntos.) Por otro todo lo anterior, los consultores llegaron a la conclusión de que deben usar programación paramétrica (véanse las secciones 4.7, 6.7 y 9.3) para determinar qué cambios sufre la solución óptima en el intervalo completo de valores de θ (0 ≤ θ ≤ 1/2).

AOra expresar matemáticamente las restricciones de balance racial primero debe expresarse la fracción de estudiantes de cada raza en cada escuela en términos de las variables de decisión. Por ejemplo.

Fracción de estudiantes blancos en la escuela 1 =

Estudio de caso - Reubicación de zonas escolares para lograr un balance racial (IV)

En lugar de esperar estas variables en el número de estudiantes blancos y el número de estudiantes negros que se han de asignar, los consultores establecieron una suposición de simplificación consistente en que la mezcla racial de cada sección se conservaría en las asignaciones a las respectivas escuelas.

La formulación obtenida usando los datos de la tabla 8.7 es la siguiente:

Estudio de caso - Reubicación de zonas escolares para lograr un balance racial (III)

Sin embargo, es necesario establecer con más precisión el objetivo de "optimizar la distancia recorrida". Una posibilidad es minimizar la distancia máxima que cualquier estudiante debe recorrer, mediante la técnica de la formulación correspondiente que se presentó en la sección debe recorrer, mediante la técnica de formulación correspondiente que se presentó en la sección 8.3, pero este objetivo puede conducir a que muchos estudisantes tengan que recorrer la distancia máxima. Otro objetivo más conveniente que puede llevar a un mejor resultado global es miminizar la suma de las distancias recorridas para todos los estudiantes. Si esto se conduce a unas cuantas injusticias inaceptables, se podrán eliminar durante la etapa de análisis de sensibilidad introduciendo restricciones sobre las distancias recorridas por grupos de estudiantes cuyo recorrido sea excesivo en la solución óptima original. Por tanto, la estructura elegida para el modelo fue minimizar la distancia recorrida total sujeta a las restricciones sobre balance racial y cualquier otra restricción que se necesite.

En última instancia, se tendrán que tomar decisiones sobre la asignación individual de lo estudiantes a las respectivas escuelas. Pero estas decisiones detalladas sobre cómo marcar las fronteras de las zonas de asignación se pueden tomar después de decidir cuántos estudiantes de cada sección deben asignarse a cada escuela. Así, las variables de decisión que se escogieron para el modelo son:

xij = número de estudiantes en la sección i que se asigna a la escuela j (i = 1,2,.........,10; j=1,2,3)