Uso del gradiente proyectado para llevar a cabo los conceptos 1 y 2 (I)

En la forma aumentada, la solución prueba inicial para el ejemplo es (x1,x2,x3) = (2,2,4).
Si se agrega el gradiente (1,2,0) se obtiene

(3,4,4) = (2,2,4) + (1,2,0)

Sin embargo, ahora se tiene una complicación. El algoritmo no se puede mover de (2,2,4) hacia (3,4,4) porque (3,4,4) es no factible! si x1 =3 y x2 =4, entonces x3 = 8 -x1-x2= 1 en lugar de 4. El punto (3,4,4) se encuentra en la cara de enfrente al ver el triángulo factible de la figura 9.4. Entonces, para que siga siendo factible, el algoritmo proyecta (de manera indirecta) el punto (3,4,4) al triángulo factible bajando una línea perpendicular a este triángulo. Esta perpendicular llega al triángulo en el punto (2,3,3). Como.

(2,3,3) = (2,2,4) + (0,1,-1)

el gradiente proyectado de la función objetivo (el grandiente proyectado sobre la región factible) es (0,1,-1). En este gradiente proyectado el que define la dirección del movimiento para el algoritmo, como lo indica la flecha de la figura 9.4.