Propiedades de las soluciones factibles en un vértice (III)

Como las ponderaciones α y (1-α) suman 1, las únicas posibilidades que se tienen al conparar Z*, Z1 y Z2 son: 1) Z* = Z1 = Z2, 2)Z1 < Z* Z* > Z2. La primera posibilidad implica que x' y x'' también son óptimas, lo que contradice la suposición de que se cumple el caso del inciso a. Las otras posibilidades contradicen la suposición inicial de que x* es óptima. En conclusión, es imposible tener siquiera una solución óptima que no sea una solución factible en un vértice.

Ahora considérese el caso del inciso b que se demostró en la sección 3.2 bajo la definición de solución óptima cambiando la función objetivo del ejemplo a Z = 3x1 + 2x2. Lo que ocurre en el procedimiento gráfico es que la recta que representa la función objetivo se mueve hacia arriba hasta que contiene el segmento que conecta la dos soluciones factibles en los vértices (2,6) y (4,3). Lo mismo pasa en dimensiones más altas, excepto que en este caso la función objetivo es un hiperplano que se mueve hasta que contiene el o los segmentos que conectan dos (o más) soluciones factibles en los vértices. Como consecuencia, es posible obtener todas las soluciones óptimas como promedios ponderados de soluciones óptimas factibles en los vértices.