Soluciones factibles en vértices adyacentes (III)

Cuando n=3, las respuestas son un poco más complejas. Para ayudar y visualizar lo que ocurre, la figura 5.2 muestra un dibujo en tres dimensiones de una región factible representativas para este caso, en la que los puntos son las soluciones en los vértices. Esta región factible es un poliedro en lugar del polígono que se tenía para n = 2 (figura 5.1), ya que las fronteras de restricción son ahora planos y no líneas. Las caras del poliedro forman la frontera de la región factible, donde cada cara es la porción de la frontera de restricción que también satisface a las otras restricciones. Nótese que cada solución factible en un vértice se encuentra en la intersección de tres fronteras de restricción (quizá incluyendo para de las frontera de restricción x1 = 0, x2 = 0 y x3 = 0 para las restricciones de no negatividad) y que la solución también satisface las otras restricciones. Las intersecciones que no satisfacen una o más de las otras restricciones llevan a soluciones no factible en un vértice.

El segmento de línea más oscuro en la figura 5.2 traza la trayectoría que sigue el método símplex en una iteración normal. El punto (2.4.3) es la solución factible en un vértice actual que se usa para iniciar una iteración y el punto (4,2,4) será la nueva solución factible en un vértice al término de la iteración. El punto (2,4,3) se encuentra en la intersección de la frontera de restricción x2 = 4, x1 + x2 =6 y -x1 + 2x3 =4, por lo que estas tres ecuaciones son las ecuaciones de definición para esta solución factible en un vértice. Si se eliminara la ecuación de definición x2 = 4, la intersección de las otras dos fronteras de restricción (planos) formarían una línea. Un segmento de esta línea, que se muestra en la figura5.2 como el segmento más oscuro que va de (2,4,3) a (4,2,4), está sobre la frontera de la región factible, mientras que el resto de la línea es no factible. Este segmento de línea se llama arista de al región factible y sus puntos terminales (2,4,3) y (4,2,4) son soluciones factibles en un vértice adyacentes.