Restricciones en forma de igualdad (III)

El efecto de introducir una variable artificial es agrandar la región factible. En este caso la dicha región se expande del segmento de línea que une (2,6) y (4,3) a toda la región sombreada que se muestra en la figura 3.2. Una solución factible para el problema revisado (con 3x1 + 2x2 + x5 = 18 y x5 ≥ 0) también es factible para el problema original ( con 3x1 + 2x2 =18) si la variable artificial es igual a cero (x5 = 0).

Ahora supóngase que se permite que el método simplex obtenga una solución óptima para el problema revisado y que, por coincidencia, esta solución es factible para el problema original. Se puede concluir entonces que la solución también es óptima para el problema original, de manera que el proceso ha terminado. (La razón es que esta solución es óptima en la región factible completa para el problema revisado, que incluye la región factible del problema original).

Por desgracia, no existe una garantía de que la solución óptima para el problema revisado sea siempre factible para el problema original; es decir, no existe garantía hasta que se haga otra revisión. Si se emplea el método de la M, esta revisión significa asignar una penalización tan grande al hecho de quedar fuera de la región factible del problema original, que obligue a la solución óptima del problema revisado a quedar dentro de esta región factible. Recuérdese que el problema revisado coincide con el problema original cuando x5 = 0. Por ello, si se cambia la función objetivo, Z = 3x1 + 5x2, a

Z = 3x1 + 5x2 - Mx5

donde M representa algún número positivo enorme, entonces el valor máximo de Z debe ocurrir cuando x5 (el valor de x5 no puede ser negativo). Después de algunos pequeños arreglos más (que se presentan en seguida), la aplicación del método símplex a este problema revisado llevará automáticamente a la solución buscada.

Al usar la función objetivo revisada, la ecuación (0) queda

Z - 3x1 - 5x2 + Mx5 = 0

o, en forma tabular, el renglon 0 preliminar (llamese Ro) se convierte en

Ro = [-3 -5 0 0 M, 0]